Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Vamos resolver a equação de diferença linear homogênea de ordem 2 dada por
, com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de equações de diferença, especialmente métodos para resolver equações lineares homogêneas de segunda ordem. Precisamos encontrar a solução geral da equação e determinar os coeficientes que satisfazem as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos formular a equação característica da equação de diferença. Para uma equação de segunda ordem como
, a equação característica é dada por:
No nosso caso, a equação de diferença é
. Comparando com a forma geral, temos
e
. Portanto, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
para encontrar os valores de
que determinam a solução geral.
Resolvendo:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação de diferença. Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com raízes reais e distintas, a solução geral é dada por:
Substituindo
e
:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeira condição:
Substituindo
na solução geral:
Segunda condição:
Substituindo
na solução geral:
Passo 6
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas Equações 1 e 2 para encontrar
e
.
Temos:
Podemos simplificar a Equação 2 dividindo todos os termos por 3:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução da equação de diferença dada, que satisfaz as condições iniciais
e
, é:
Simplificando:
Exercícios relacionados
Desenhe as superfícies de nível da função
dada:
O valor de
é
( )
( ) 0
( )
( )
( )
( )
( ) 0
( )
( )
( )
Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique
,
O valor de
é
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )