Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Vamos resolver a equação de diferença linear homogênea de ordem 2 dada por , com as condições iniciais e . Para isso, vamos utilizar o conteúdo de equações de diferença, especialmente métodos para resolver equações lineares homogêneas de segunda ordem. Precisamos encontrar a solução geral da equação e determinar os coeficientes que satisfazem as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos formular a equação característica da equação de diferença. Para uma equação de segunda ordem como , a equação característica é dada por:
No nosso caso, a equação de diferença é . Comparando com a forma geral, temos e . Portanto, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de que determinam a solução geral.
Resolvendo:
Portanto, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação de diferença. Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com raízes reais e distintas, a solução geral é dada por:
Substituindo e :
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
çã
Segunda condição:
Substituindo na solução geral:
çã

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas Equações 1 e 2 para encontrar e .
Temos:
Podemos simplificar a Equação 2 dividindo todos os termos por 3:
çã
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução da equação de diferença dada, que satisfaz as condições iniciais e , é:
Simplificando:

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Desenhe as superfícies de nível da função dada:
O valor de é
( )
( ) 0
( )
( )
( )
Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique
,
O valor de é
( )
( )
( )
( )
( )