Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique.
lim x infty 3 x^2-2 x+14 x^2+5 x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x infty 3 x^2-2 x+14 x^2+5 x-3. Aqui, estamos lidando com limites no cálculo, especificamente para funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como os termos de maior grau (no caso, x^2) dominam o comportamento da função quando x cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, identifique os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é 3x^2 e no denominador é 4x^2. Esses termos vão determinar o limite quando x tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dividindo todos os termos do numerador e do denominador por x^2, que é o maior grau presente:
3x^2 - 2x + 14x^2 + 5x - 3 = 3 - 2x + 1x^24 + 5x - 3x^2

Passo 4

Em seguida, analisamos o comportamento dos termos que contêm 1x e 1x^2 quando x tende ao infinito. Esses termos se aproximam de zero, pois o denominador cresce muito.
Então, simplificamos a expressão considerando apenas os termos constantes:
3 - 0 + 04 + 0 - 0 = 34

Resposta

O limite é 34.

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