a. f(x) = (x ln(x)) / tg(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O desafio aqui é trabalhar com a função . Nosso objetivo provavelmente é encontrar a derivada dessa função. Para isso, precisamos usar algumas regras de derivação, como a regra do quociente, além de saber derivar funções como o logaritmo natural e a tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do quociente. Se temos uma função , a derivada dela é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos encontrar . Temos . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar . A derivada da tangente é:
Lembrando que , então .

Passo 5

Aplicando agora a regra do quociente que mencionamos no Passo 2:
Vamos simplificar um pouco essa expressão para ficar mais bonita.

Passo 6

Sabemos que e , então podemos reescrever como . Substituindo na expressão:

Passo 7

Simplificando os denominadores:
Aqui, multiplicamos tudo por para eliminar os denominadores internos.

Passo 8

Finalmente, colocamos a derivada de forma simplificada:
Essa é a derivada da função dada.

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Idem, considerando as seguintes opções para uma função h:
a.h(t) = t * e^(-2 * t)
Calcule os seguintes limites (caso existam). Deve identificar a indeterminação.
b lim x 0 2 x arctg(x)-ln (x^2+1)x^2.
Calcule a integral.
integralpi / 4^pi / 3 sec theta tg theta d theta
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.) f(x) = 2x + 3x^1.3