a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O desafio aqui é trabalhar com a função
. Nosso objetivo provavelmente é encontrar a derivada dessa função. Para isso, precisamos usar algumas regras de derivação, como a regra do quociente, além de saber derivar funções como o logaritmo natural e a tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra do quociente. Se temos uma função
, a derivada dela é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos encontrar
. Temos
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que
. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. A derivada da tangente é:
Lembrando que
, então
.
Passo 5
Aplicando agora a regra do quociente que mencionamos no Passo 2:
Vamos simplificar um pouco essa expressão para ficar mais bonita.
Passo 6
Sabemos que
e
, então podemos reescrever
como
. Substituindo na expressão:
Passo 7
Simplificando os denominadores:
Aqui, multiplicamos tudo por
para eliminar os denominadores internos.
Passo 8
Finalmente, colocamos a derivada de forma simplificada:
Essa é a derivada da função dada.
Resposta
A derivada de
é:
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Idem, considerando as seguintes opções para uma função h:
Calcule os seguintes limites (caso existam). Deve identificar a indeterminação.
.
Calcule a integral.
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.)