Calcule os seguintes limites, caso existam:
(h) lim x 0 cossec x sen(sen x)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o limite . Esse exercício pertence ao estudo de limites em Cálculo, mais especificamente lidando com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre as aproximações de funções trigonométricas quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função csc x cdot sin(sin x) = 1sin x cdot sin(sin x) . Sabia que é o mesmo que ? Então, podemos substituir na expressão:

Passo 3

Agora, olhemos para o comportamento de quando está próximo de 0. Sabemos que, para valores muito pequenos de , . Isso é uma aproximação útil que simplifica nosso cálculo.

Passo 4

Aplicando essa aproximação, temos:
sin(sin x) approx sin(x) approx x
Então, a expressão fica:
1sin x cdot sin(sin x) approx 1x cdot x

Passo 5

Simplificando 1x cdot x = 1 , obtemos:

Resposta

Portanto, o limite é:
limx 0 csc x cdot sin(sin x) = 1

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