2-5. Find a vector equation and parametric equations for the line.
2. The line through the point and parallel to the vector
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação vetorial e as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Isso envolve conhecimentos de Geometria Analítica, especificamente como representar uma reta no espaço tridimensional usando um ponto e um vetor diretor.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a equação vetorial da reta. Ela tem a forma:
Aqui, é o vetor posição de um ponto pela qual a reta passa, é o vetor diretor da reta (no caso, o vetor paralelo dado), e é um parâmetro real que varia.
Passo 3
No nosso caso, o ponto pela qual a reta passa é , então o vetor posição é:
E o vetor diretor é:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da equação vetorial, temos:
Essa é a equação vetorial da reta que estamos procurando.
Passo 5
Agora, vamos para as equações paramétricas. Elas expressam cada coordenada da reta em função do parâmetro . A forma geral é:
Onde é o ponto inicial e são as componentes do vetor diretor.