2-5. Find a vector equation and parametric equations for the line.
2. The line through the point (6, -5, 2) and parallel to the vector <1, 3, -2/5>

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação vetorial e as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Isso envolve conhecimentos de Geometria Analítica, especificamente como representar uma reta no espaço tridimensional usando um ponto e um vetor diretor.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a equação vetorial da reta. Ela tem a forma:
Aqui, é o vetor posição de um ponto pela qual a reta passa, é o vetor diretor da reta (no caso, o vetor paralelo dado), e é um parâmetro real que varia.

Passo 3

No nosso caso, o ponto pela qual a reta passa é , então o vetor posição é:
E o vetor diretor é:

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da equação vetorial, temos:
Essa é a equação vetorial da reta que estamos procurando.

Passo 5

Agora, vamos para as equações paramétricas. Elas expressam cada coordenada da reta em função do parâmetro . A forma geral é:
Onde é o ponto inicial e são as componentes do vetor diretor.

Passo 6

Aplicando os valores que temos:
Simplificando:

Resposta

A equação vetorial da reta é:
E as equações paramétricas são:

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