Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x +infty raiz7 x^6+5 x^4+7x^4+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o seguinte limite:
lim x +infty raiz7 x^6+5 x^4+7x^4+2
Estamos lidando com limites de funções racionais e envolvendo radiciação. Vamos precisar entender como comparar os termos de maior grau no numerador e denominador para encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, observamos o que acontece quando tende ao infinito. Nos termos de maior grau no numerador e no denominador dominam o comportamento da função. Vamos identificar esses termos.
No numerador:
No denominador:

Passo 3

No numerador, o termo de maior grau dentro da raiz é raiz7x^6 + 5x^4 + 7 = raiz7x^6(1 + 5x^47x^6 + 77x^6) = raiz7x^6 cdot raiz1 + 57x^2 + 1x^6 . Podemos fatorar esse termo para simplificar:
Sabemos que .

Passo 4

No denominador, o termo de maior grau é x^4 + 2 = x^4(1 + 2x^4) . Podemos reescrever o denominador da seguinte forma:

Passo 5

Agora, substituímos essas expressões de volta no limite original:
lim x +infty x^3raiz7 cdot raiz1 + 57x^2 + 1x^6x^4(1 + 2x^4) = lim x +infty raiz7x cdot raiz1 + 57x^2 + 1x^61 + 2x^4

Passo 6

À medida que raiz1 + 0 + 0 = 1 e 1 + 0 = 1 tende ao infinito, os termos que contêm lim x +infty raiz7x cdot 11 = lim x +infty raiz7x (onde ) tendem a zero. Portanto, podemos simplificar:
Então, o limite fica:

Passo 7

Finalmente, sabemos que tende a zero quando tende ao infinito.

Resposta

O limite é igual a 0.

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