Classifique as afirmativas a seguir em verdadeiras ou falsas. (A) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que todo número real positivo possui uma raiz quadrada.

Passo 1

Vamos analisar a afirmativa: “Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que todo número real positivo possui uma raiz quadrada.” Vamos utilizar o Teorema do Valor Intermediário e o conceito de funções contínuas para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado e assume valores de sinais opostos em e , então existe pelo menos um valor em tal que .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que todo número positivo tem uma raiz quadrada. Ou seja, existe um número tal que . Para isso, consideramos a função .

Passo 4

Vamos analisar a função :
  • Continuidade: A função é um polinômio e, portanto, é contínua em todo o seu domínio, que é .
  • Valor nos extremos:
    • Quando , (negativo, já que ).
    • À medida que aumenta, tende a .

Passo 5

Usando o TVI, sabemos que se é contínua no intervalo e enquanto para algum , então existe um em tal que .

Passo 6

Escolhemos (ou qualquer suficientemente grande). Então:
  • (pois cresce mais rápido que )

Passo 7

Pelo TVI, existe um em tal que , ou seja, . Portanto, .

Resposta

Verdadeiro.

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