Classifique as afirmativas a seguir em verdadeiras ou falsas. (A) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que todo número real positivo
possui uma raiz quadrada.
Passo 1
Vamos analisar a afirmativa: “Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que todo número real positivo
possui uma raiz quadrada.” Vamos utilizar o Teorema do Valor Intermediário e o conceito de funções contínuas para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Esse teorema diz que se uma função
é contínua em um intervalo fechado
e assume valores de sinais opostos em
e
, então existe pelo menos um valor
em
tal que
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que todo número positivo
tem uma raiz quadrada. Ou seja, existe um número
tal que
. Para isso, consideramos a função
.
Passo 4
Vamos analisar a função
:
- Continuidade: A função
é um polinômio e, portanto, é contínua em todo o seu domínio, que é . - Valor nos extremos:
- Quando
, (negativo, já que ). - À medida que
aumenta, tende a .
- Quando
Passo 5
Usando o TVI, sabemos que se
é contínua no intervalo
e
enquanto
para algum
, então existe um
em
tal que
.
Passo 6
Escolhemos
(ou qualquer
suficientemente grande). Então:
-
-
(pois cresce mais rápido que )
Passo 7
Pelo TVI, existe um
em
tal que
, ou seja,
. Portanto,
.
Resposta
Verdadeiro.
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Seja
tal que
, para todo
. Calcule
e
.
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