Seja f: R R tal que 1+x^2+x^63 <= f(x)+1 <= sec x^2+x^63, para todo x in R. Calcule lim x 0 f(x) e lim x 0(f(x) cos (1x+x^2)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que está limitada entre duas outras funções por meio de desigualdades. O conteúdo envolve conceitos de limites e, especificamente, o Teorema do Sandwich (também conhecido como Teorema da Aperto). Precisamos calcular dois limites: e .

Passo 2

Vamos começar calculando 1 + x^2 + x^63 <= f(x) + 1 <= sec x^2 + x^63 . Observamos que a função limx 0 (1 + x^2 + x^63) = 1 + 0 + 0 = 1 está limitada por:
limx 0 (sec x^2 + x^63) = sec 0 + 0 = 1 + 0 = 1
Para aplicar o Teorema do Sandwich, precisamos encontrar os limites das funções que estão “enforcando” limx 0 (f(x) + 1) = 1 quando limx 0 f(x) = 1 - 1 = 0 tende a 0.
Calculando o limite do lado esquerdo:
Calculando o limite do lado direito:
Como ambos os limites das funções externas são iguais a 1, pelo Teorema do Sandwich, temos:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular -1 <= cos(1x + x^2) <= 1 . Sabemos que a função cosseno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
- f(x) <= f(x) cos(1x + x^2) <= f(x)
Multiplicando essa desigualdade por limx 0(f(x) cos (1x+x^2)) = 0 , que sabemos que tende a 0:
Como , tanto quanto tendem a 0. Aplicando novamente o Teorema do Sandwich:

Resposta

limx 0 f(x) = 0 e limx 0(f(x) cos (1x+x^2)) = 0

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Classifique as afirmativas a seguir em verdadeiras ou falsas. (A) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que todo número real positivo a possui uma raiz quadrada.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x 0(tg(3 x) cossec(6 x))
Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x +infty raiz7 x^6+5 x^4+7x^4+2
Classifique as afirmativas a seguir em verdadeiras ou falsas. © Seja f: [a, b] -> R uma função contínua tal que f(a) < 0 e f(b) > 0. Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que f tem pelo menos uma raiz real no intervalo [a, b].