Seja
tal que
, para todo
. Calcule
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que está limitada entre duas outras funções por meio de desigualdades. O conteúdo envolve conceitos de limites e, especificamente, o Teorema do Sandwich (também conhecido como Teorema da Aperto). Precisamos calcular dois limites:
e
.
Passo 2
Vamos começar calculando
. Observamos que a função
está limitada por:
Para aplicar o Teorema do Sandwich, precisamos encontrar os limites das funções que estão “enforcando”
quando
tende a 0.
Calculando o limite do lado esquerdo:
Calculando o limite do lado direito:
Como ambos os limites das funções externas são iguais a 1, pelo Teorema do Sandwich, temos:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Sabemos que a função cosseno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando essa desigualdade por
, que sabemos que tende a 0:
Como
, tanto
quanto
tendem a 0. Aplicando novamente o Teorema do Sandwich:
Resposta
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Classifique as afirmativas a seguir em verdadeiras ou falsas. (A) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que todo número real positivo
possui uma raiz quadrada.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
Calcule os seguintes limites, caso existam:
Classifique as afirmativas a seguir em verdadeiras ou falsas. © Seja
uma função contínua tal que
e
. Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que
tem pelo menos uma raiz real no intervalo
.