Calcule os seguintes limites, caso existam:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo para entender o comportamento de funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze), que nos ajuda a encontrar limites de funções que estão “presas” entre duas outras funções cujo limite já conhecemos.
Passo 2
Vamos começar observando o termo
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Isso é uma propriedade básica das funções trigonométricas.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por
. Como
é sempre positivo (já que o cubo de um número positivo ou negativo continua sendo do mesmo sinal, mas estamos interessados no comportamento próximo de 0 onde
é positivo), a desigualdade se mantém:
Passo 4
Agora, vamos dividir todos os lados da desigualdade por
(que também é positivo quando
se aproxima de 0, mas não é zero exatamente):
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 0. Sabemos que, para
próximo de 0,
. Então:
Substituindo na expressão:
Assim, quando
,
.
Passo 6
De volta à nossa desigualdade:
Sabemos que ambos os limites laterais (
e
) tendem a 0 quando
. Portanto, pelo Teorema do Confronto:
Resposta
O limite é igual a
.