Calcule os seguintes limites, caso existam: lim x 0 sen^3(x) sin (1x)x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando lim x 0 sin^3(x) cdot sin (1x)x^2 se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo para entender o comportamento de funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze), que nos ajuda a encontrar limites de funções que estão “presas” entre duas outras funções cujo limite já conhecemos.

Passo 2

Vamos começar observando o termo -1 <= sin(1x) <= 1 . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Isso é uma propriedade básica das funções trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por -sin^3(x) <= sin^3(x) cdot sin(1x) <= sin^3(x) . Como é sempre positivo (já que o cubo de um número positivo ou negativo continua sendo do mesmo sinal, mas estamos interessados no comportamento próximo de 0 onde é positivo), a desigualdade se mantém:

Passo 4

Agora, vamos dividir todos os lados da desigualdade por -sin^3(x)x^2 <= sin^3(x) cdot sin(1x)x^2 <= sin^3(x)x^2 (que também é positivo quando se aproxima de 0, mas não é zero exatamente):

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de sin^3(x) approx x^3 quando sin^3(x)x^2 approx x^3x^2 = x se aproxima de 0. Sabemos que, para próximo de 0, . Então:
Substituindo na expressão:
Assim, quando , .

Passo 6

De volta à nossa desigualdade:
-sin^3(x)x^2 <= sin^3(x) cdot sin(1x)x^2 <= sin^3(x)x^2
Sabemos que ambos os limites laterais ( lim x 0 sin^3(x) cdot sin (1x)x^2 = 0 e ) tendem a 0 quando . Portanto, pelo Teorema do Confronto:

Resposta

O limite é igual a .

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