Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem bem legal aqui:
com a condição inicial
. Nosso objetivo é resolver essa equação usando a transformada de Laplace. Para isso, precisamos saber como aplicar a transformada aos termos de
e
, e também como lidar com exponenciais como
. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada
é
, onde
é a transformada de
. Já a transformada de
é simplesmente
. E a transformada de
é
.
Então, aplicando a transformada:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, substituímos a condição inicial
na equação:
Simplificando:
Para encontrar
, basta dividir ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, precisamos achar a transformada inversa de
para encontrar
. Sabemos que:
Aqui,
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: