Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem bem legal aqui:
com a condição inicial . Nosso objetivo é resolver essa equação usando a transformada de Laplace. Para isso, precisamos saber como aplicar a transformada aos termos de e , e também como lidar com exponenciais como . Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é , onde é a transformada de . Já a transformada de é simplesmente . E a transformada de é .
Então, aplicando a transformada:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, substituímos a condição inicial na equação:
Simplificando:
Para encontrar , basta dividir ambos os lados por :
Passo 4
Agora, precisamos achar a transformada inversa de para encontrar . Sabemos que: