Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
y' + 4y = e^(-4t), y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem bem legal aqui:
com a condição inicial . Nosso objetivo é resolver essa equação usando a transformada de Laplace. Para isso, precisamos saber como aplicar a transformada aos termos de e , e também como lidar com exponenciais como . Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é , onde é a transformada de . Já a transformada de é simplesmente . E a transformada de é .
Então, aplicando a transformada:
Substituindo as transformadas:

Passo 3

Agora, substituímos a condição inicial na equação:
Simplificando:
Para encontrar , basta dividir ambos os lados por :

Passo 4

Agora, precisamos achar a transformada inversa de para encontrar . Sabemos que:
Aqui, , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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f(x)=ccc x, & se & x <=-1 x^2+3 x, & se & -12
Calcule, caso exista,
& lim x 2^+ f(x), & lim x 2^- f(x), & lim x 2 f(x)
Mostre, a partir da definição de limite, que:
(a) lim x 1 4 x+1=5
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(5) lim x -1 e^x^2-1
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(4) lim x 3 x^x^2-9