Calcule os seguintes limites, caso existam: lim x 0 (e^x-1x).

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0 (e^x-1x). Esse exercício aborda o tema de limites, que faz parte do cálculo diferencial. Para resolver, vamos utilizar o conceito da definição de limite e a expansão da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial e^x pode ser expandida em uma série de Taylor perto de x = 0:
e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + dots
Isso nos ajuda a entender como e^x se comporta quando x está próximo de 0.

Passo 3

Subtraindo 1 de e^x, temos:
e^x - 1 = x + x^22! + x^33! + dots
Agora, vamos dividir essa expressão por x:
e^x - 1x = 1 + x2! + x^23! + dots

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando x tende a 0. Cada termo que contém x desaparece, pois x, x^2, etc., se aproximam de 0. Portanto, o único termo que permanece é 1.

Passo 5

Assim, concluímos que:
lim x 0 (e^x-1x) = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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