Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
(b) y(t) = c1 * 3^t + c2 * 5^t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e a ideia de soluções que envolvem exponentes.

Passo 2

Vamos supor que a solução , onde é uma constante que precisamos encontrar. Ao substituir essa forma na equação diferencial, obteremos a equação característica que nos ajudará a encontrar os valores de .

Passo 3

Considerando que temos dois termos na solução geral, e , isso sugere que os valores de são e . Portanto, a equação característica associada será baseada nesses valores.

Passo 4

A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem com soluções e é:
Expandindo essa expressão, temos:

Passo 5

Agora, sabemos que a equação diferencial correspondente tem a forma:
Onde é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.

Resposta

A equação diferencial cuja solução geral é é:

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