Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e a ideia de soluções que envolvem exponentes.
Passo 2
Vamos supor que a solução
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Ao substituir essa forma na equação diferencial, obteremos a equação característica que nos ajudará a encontrar os valores de
.
Passo 3
Considerando que temos dois termos na solução geral,
e
, isso sugere que os valores de
são
e
. Portanto, a equação característica associada será baseada nesses valores.
Passo 4
A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem com soluções
e
é:
Expandindo essa expressão, temos:
Passo 5
Agora, sabemos que a equação diferencial correspondente tem a forma:
Onde
é a segunda derivada de
em relação a
, e
é a primeira derivada.
Resposta
A equação diferencial cuja solução geral é
é: