Calcule os seguintes limites, caso existam:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao estudo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a encontrar limites que inicialmente resultam em formas indeterminadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a forma do limite substituindo
diretamente:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, que é uma indicação para usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital afirma que se
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
Passo 4
Vamos aplicar a derivada no numerador e no denominador:
- Derivada do numerador:
, então - Derivada do denominador:
, então
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Ainda temos a forma
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.
Passo 6
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador:
, então - Derivada do denominador:
, então
Passo 7
Substituímos novamente no limite:
Agora, substituímos
:
Resposta
O limite é
.