Calcule os seguintes limites, caso existam: lim x 0 cos x-12 x^2

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0 cos x - 12 x^2. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao estudo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a encontrar limites que inicialmente resultam em formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a forma do limite substituindo x = 0 diretamente:
cos 0 - 12 cdot 0^2 = 1 - 10 = 00
Isso nos dá uma forma indeterminada 0/0, que é uma indicação para usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital afirma que se limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
limx to a f'(x)g'(x)

Passo 4

Vamos aplicar a derivada no numerador e no denominador:
  • Derivada do numerador: f(x) = cos x - 1, então f'(x) = -sin x
  • Derivada do denominador: g(x) = 2x^2, então g'(x) = 4x

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas no limite:
limx 0 -sin x4x
Ainda temos a forma 0/0, então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.

Passo 6

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: f'(x) = -sin x, então f''(x) = -cos x
  • Derivada do denominador: g'(x) = 4x, então g''(x) = 4

Passo 7

Substituímos novamente no limite:
limx 0 -cos x4
Agora, substituímos x = 0:
-cos 04 = -14

Resposta

O limite é boxed-dfrac14.

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