Calcule os seguintes limites, caso existam:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites que resultam em formas indeterminadas como
. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que ajuda nesses casos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se realmente estamos com uma forma indeterminada
quando
se aproxima de 0. Substituindo
:
Então, temos
, que é uma situação onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se
resulta em
ou
, então esse limite é igual a
, ou seja, as derivadas das funções no numerador e denominador.
Então, vamos calcular as derivadas de e
.
Passo 4
Calculando a derivada de :
Agora, a derivada de
:
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas na expressão do limite:
Passo 6
Agora, vamos calcular esse novo limite substituindo
:
Então, o limite fica:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine os valores de
para os quais
e
no caso das seguintes funções:
a)
a)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
Calcule os seguintes limites, caso existam:
Calcule a derivada da função
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)