Calcule os seguintes limites, caso existam: lim x 0 sen 3 x5 x^3-4 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites que resultam em formas indeterminadas como . Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que ajuda nesses casos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente estamos com uma forma indeterminada sen3 cdot 0 = sen0 = 0 quando 5 cdot 0^3 - 4 cdot 0 = 0 - 0 = 0 se aproxima de 0. Substituindo :
Então, temos , que é uma situação onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se resulta em ou , então esse limite é igual a , ou seja, as derivadas das funções no numerador e denominador.
Então, vamos calcular as derivadas de e .

Passo 4

Calculando a derivada de :
Agora, a derivada de f'(x) = ddx sen3x = 3 cos3x :
g'(x) = ddx (5x^3 - 4x) = 15x^2 - 4

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas na expressão do limite:

Passo 6

Agora, vamos calcular esse novo limite substituindo 3 cos3 cdot 0 = 3 cos0 = 3 cdot 1 = 3 :
15 cdot 0^2 - 4 = 0 - 4 = -4
3-4 = -34
Então, o limite fica:

Resposta

O limite é .

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