Calcule os seguintes limites, caso existam:
4)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e, como vamos lidar com uma forma indeterminada , vamos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Vamos substituir na expressão para ver o que acontece:
Como obtemos uma forma , que é indeterminada, precisamos usar a Regra de L’Hôpital para encontrar o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Então, vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 4

Primeiro, derivamos o numerador :
Então, a derivada do numerador é .

Passo 5

Agora, derivamos o denominador :
Então, a derivada do denominador é .

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo o limite original pelo limite das derivadas:
Simplificando a expressão:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Resolva cada uma das equações abaixo.
(a)
(b)
©
Considere as funções e . Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.
(a) O valor de é .
(b) O domínio da função composta é .
© A função inversa de é dada por .
(d) A reta que é gráfico da função intercepta o eixo em .
(e) A função assume valores estritamente positivos para ou .
Nos exercícios 11 a 15 é dado . Determinar um número para o dado tal que sempre que . Dar exemplos de dois outros números positivos para , que também satisfazem a implicação dada.
.
Em um triângulo retângulo de hipotenusa medindo 15 cm, sabe-se que o seno de um dos outros dois ângulos internos (que não o reto) é . Determine:
(a) as medidas dos catetos
(b) o cosseno e a tangente
© seno, cosseno e tangente desse mesmo ângulo do terceiro ângulo interno