Calcule os seguintes limites, caso existam:
4)
4)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e, como vamos lidar com uma forma indeterminada
, vamos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Vamos substituir
na expressão para ver o que acontece:
Como obtemos uma forma
, que é indeterminada, precisamos usar a Regra de L’Hôpital para encontrar o limite.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Então, vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Passo 4
Primeiro, derivamos o numerador
:
Então, a derivada do numerador é
.
Passo 5
Agora, derivamos o denominador
:
Então, a derivada do denominador é
.
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo o limite original pelo limite das derivadas:
Simplificando a expressão:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a
.