Calcule os seguintes limites, caso existam:
4)
4)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e, como vamos lidar com uma forma indeterminada
, vamos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Vamos substituir
na expressão para ver o que acontece:
Como obtemos uma forma
, que é indeterminada, precisamos usar a Regra de L’Hôpital para encontrar o limite.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Então, vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Passo 4
Primeiro, derivamos o numerador
:
Então, a derivada do numerador é
.
Passo 5
Agora, derivamos o denominador
:
Então, a derivada do denominador é
.
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo o limite original pelo limite das derivadas:
Simplificando a expressão:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Resolva cada uma das equações abaixo.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Considere as funções
e
. Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.
(a) O valor de é
.
(b) O domínio da função composta é
.
© A função inversa de é dada por
.
(d) A reta que é gráfico da função intercepta o eixo
em
.
(e) A função assume valores estritamente positivos para
ou
.
(a) O valor de
(b) O domínio da função composta
© A função inversa de
(d) A reta que é gráfico da função
(e) A função
Nos exercícios 11 a 15 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
. Dar exemplos de dois outros números positivos para
, que também satisfazem a implicação dada.
.
Em um triângulo retângulo de hipotenusa medindo 15 cm, sabe-se que o seno de um dos outros dois ângulos internos (que não o reto) é
. Determine:
(a) as medidas dos catetos
(b) o cosseno e a tangente
© seno, cosseno e tangente desse mesmo ângulo do terceiro ângulo interno
(a) as medidas dos catetos
(b) o cosseno e a tangente
© seno, cosseno e tangente desse mesmo ângulo do terceiro ângulo interno