Calcule os seguintes limites, caso existam:
4) lim x 1 / 2 raiz[4]2 x-1raiz2 x-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e, como vamos lidar com uma forma indeterminada , vamos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Vamos substituir raiz[4]2 cdot 12 - 1raiz2 cdot 12 - 1 = raiz[4]1 - 1raiz1 - 1 = 1 - 10 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Como obtemos uma forma , que é indeterminada, precisamos usar a Regra de L’Hôpital para encontrar o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Então, vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 4

Primeiro, derivamos o numerador ddx ( raiz[4]2x ) = ddx ( (2x)^14 ) = 14 cdot (2x)^-34 cdot 2 = 12 cdot (2x)^-34 :
Então, a derivada do numerador é .

Passo 5

Agora, derivamos o denominador ddx ( raiz2x - 1 ) = 12 cdot (2x - 1)^-12 cdot 2 = (2x - 1)^-12 :
Então, a derivada do denominador é .

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo o limite original pelo limite das derivadas:
limx to 12 12 cdot (2x)^-34(2x - 1)^-12
Simplificando a expressão:
limx to 12 12 cdot (2x - 1)^12(2x)^34

Passo 7

Agora, substituímos 12 cdot (2 cdot 12 - 1)^12(2 cdot 12)^34 = 12 cdot (1 - 1)^121^34 = 12 cdot 01 = 0 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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