Nos exercícios 11 a 15 é dado lim x a f(x)=L. Determinar um número de para o varepsilon dado tal que |f(x)-L| sempre que 0<|x-a|. Dar exemplos de dois outros números positivos para de, que também satisfazem a implicação dada.
lim x 2(2 x+4)=8, varepsilon=0,01.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre o conceito de limite em cálculo. Especificamente, temos que determinar um número de para um dado varepsilon, de forma que a condição |f(x) - L| < varepsilon seja satisfeita sempre que 0 < |x - a| < de. No nosso caso, a função é f(x) = 2x + 4, o ponto a é 2, o limite L é 8, e o varepsilon dado é 0,01. Além disso, precisamos dar exemplos de dois outros números positivos que também funcionam como de.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |f(x) - L| < varepsilon. Isso quer dizer que queremos que a diferença entre o valor da função f(x) e o limite L seja menor que varepsilon sempre que x estiver suficientemente perto de a, mas diferente de a. Nesse caso, queremos que |2x + 4 - 8| < 0,01.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
|2x + 4 - 8| = |2x - 4| = 2|x - 2|
Então, a condição que queremos é:
2|x - 2| < 0,01

Passo 4

Agora, vamos resolver para |x - 2|:
2|x - 2| < 0,01 implies |x - 2| < 0,012 implies |x - 2| < 0,005
Isso significa que, para garantir que |f(x) - L| < 0,01, precisamos que x esteja a menos de 0,005 unidades de distância de 2.

Passo 5

Portanto, podemos escolher de. Isso garante que sempre que 0 < |x - 2| < 0,005, a condição |f(x) - 8| < 0,01 será satisfeita.

Passo 6

Além disso, qualquer número positivo menor ou igual a 0,005 também funcionará como de. Por exemplo, podemos escolher de ou de. Esses valores também garantem que |f(x) - 8| < 0,01 sempre que 0 < |x - 2| < de.

Resposta

Para o varepsilon = 0,01, podemos escolher de. Dois outros exemplos de números positivos que também satisfazem a condição são de e de.

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