Considere as funções f(x) = (x + 1) / (x - 1) e g(x) = 2x + 3. Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.
(a) O valor de g(f(2)) é 4/3.
(b) O domínio da função composta f(g) é R \ {-1}.
© A função inversa de g é dada por g^{-1}(x) = (x - 3) / 2.
(d) A reta que é gráfico da função g intercepta o eixo x em (-3/2, 0).
(e) A função f assume valores estritamente positivos para x < -1 ou x > 1.

Passo 1

Então, temos duas funções dadas: e . O exercício pede para a gente verificar se algumas afirmações sobre essas funções são verdadeiras ou falsas. Vamos precisar entender conceitos como função composta, domínio de função, função inversa e características gráficas de funções. Vamos resolver cada letra passo a passo!

Passo 2

a) O valor de é .
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso é uma função composta, onde a gente primeiro calcula e depois aplica a função nesse resultado.
  1. Calculando :
  1. Agora, calculamos :
Então, .
A afirmação diz que , mas na verdade é 9. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 3

b) O domínio da função composta é .
Vamos determinar o domínio da função composta , que significa .
  1. O domínio de é todos os reais, .
  2. Agora, o resultado de será a entrada para . Sabemos que , e o denominador não pode ser zero. Então:
  1. Mas aqui, estamos usando como entrada, então queremos que :
Portanto, o domínio de é todos os reais exceto , ou seja, .
A afirmação está correta, então é verdadeira.

Passo 4

c) A função inversa de é dada por .
Para encontrar a função inversa de , seguimos os passos:
  1. Escrevemos .
  2. Trocamos e :
  1. Resolvemos para :
Portanto, a função inversa é .
A afirmação está correta, então é verdadeira.

Passo 5

d) A reta que é gráfico da função intercepta o eixo em .
Para encontrar o ponto de interseção com o eixo , igualamos a zero e resolvemos para :
Portanto, a reta intercepta o eixo no ponto .
A afirmação está correta, então é verdadeira.

Passo 6

e) A função assume valores estritamente positivos para ou .
Vamos analisar os intervalos:
  1. Para :
O numerador e denominador são positivos, então .
  1. Para :
Dois negativos divididos dão um positivo, então .
Agora, para :
  • Se , então e , resultando em .
Portanto, é positivo apenas para ou .
A afirmação está correta, então é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
© Verdadeira.
(d) Verdadeira.
(e) Verdadeira.

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