Considere as funções
e
. Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.
(a) O valor de
é
.
(b) O domínio da função composta
é
.
© A função inversa de
é dada por
.
(d) A reta que é gráfico da função
intercepta o eixo
em
.
(e) A função
assume valores estritamente positivos para
ou
.
(a) O valor de
(b) O domínio da função composta
© A função inversa de
(d) A reta que é gráfico da função
(e) A função
Passo 1
Então, temos duas funções dadas:
e
. O exercício pede para a gente verificar se algumas afirmações sobre essas funções são verdadeiras ou falsas. Vamos precisar entender conceitos como função composta, domínio de função, função inversa e características gráficas de funções. Vamos resolver cada letra passo a passo!
Passo 2
a) O valor de
é
.
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso é uma função composta, onde a gente primeiro calcula
e depois aplica a função
nesse resultado.
- Calculando
:
- Agora, calculamos
:
Então,
.
A afirmação diz que
, mas na verdade é 9. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 3
b) O domínio da função composta
é
.
Vamos determinar o domínio da função composta
, que significa
.
-
O domínio de
é todos os reais, . -
Agora, o resultado de
será a entrada para . Sabemos que , e o denominador não pode ser zero. Então:
- Mas aqui, estamos usando
como entrada, então queremos que :
Portanto, o domínio de
é todos os reais exceto
, ou seja,
.
A afirmação está correta, então é verdadeira.
Passo 4
c) A função inversa de
é dada por
.
Para encontrar a função inversa de
, seguimos os passos:
-
Escrevemos
. -
Trocamos
e :
- Resolvemos para
:
Portanto, a função inversa é
.
A afirmação está correta, então é verdadeira.
Passo 5
d) A reta que é gráfico da função
intercepta o eixo
em
.
Para encontrar o ponto de interseção com o eixo
, igualamos
a zero e resolvemos para
:
Portanto, a reta intercepta o eixo
no ponto
.
A afirmação está correta, então é verdadeira.
Passo 6
e) A função
assume valores estritamente positivos para
ou
.
Vamos analisar os intervalos:
- Para
:
O numerador e denominador são positivos, então
.
- Para
:
Dois negativos divididos dão um positivo, então
.
Agora, para
:
- Se
, então e , resultando em .
Portanto,
é positivo apenas para
ou
.
A afirmação está correta, então é verdadeira.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
© Verdadeira.
(d) Verdadeira.
(e) Verdadeira.
Exercícios relacionados
Dê exemplo de uma função
que seja descontínua em todos os pontos da reta mas que a função
seja contínua em todos os pontos da reta.
Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
(a) Se , a função
admite um ponto de máximo.
(b) O gráfico da função intercepta o eixo x nos pontos de coordenadas
e
.
© O gráfico da função intercepta o eixo y no ponto de coordenadas
se
.
(a) Se
(b) O gráfico da função
© O gráfico da função
Resolva cada uma das equações abaixo.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Calcule os seguintes limites, caso existam:
4)
4)