Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x 0 raiz[5]x^4+1-1x^4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
limx 0 raiz[5]x^4+1-1x^4
Esse exercício envolve o conteúdo de Limites na matemática, especificamente lidando com funções que se aproximam de um valor quando a variável se aproxima de algum ponto, aqui . Para resolver, vamos utilizar a expansão binomial para aproximar a expressão da raiz.

Passo 2

Vamos olhar para a expressão dentro da raiz quinta: raiz[5]1 + u approx 1 + u5 . Quando raiz[5]x^4+1 approx 1 + x^45 é muito pequeno (perto de 0), também será muito pequeno. Podemos então usar a expansão binomial para aproximar , onde .
A expansão binomial para quando é pequeno é:
Substituindo , temos:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
raiz[5]x^4+1-1x^4 approx 1 + x^45 - 1x^4 = x^45x^4
Simplificando a fração:
x^45x^4 = 15

Resposta

O limite é igual a limx 0 raiz[5]x^4+1-1x^4 = 15 .

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