Calcule os seguintes limites, caso existam:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites trigonométricos básicos e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão usando a definição de . Sabemos que . Então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que . Substituindo isso na expressão:

Passo 4

Simplificamos a expressão multiplicando os termos no denominador:

Passo 5

Vamos usar a identidade trigonométrica . Observamos que . Substituindo isso na expressão:

Passo 6

Cancelamos no numerador e denominador:

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando tende a 0. Sabemos que , então:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites, caso existam:
Utilize a definição de derivada nas atividades abaixo:
Determine a derivada de no ponto .
Classifique as afirmativas a seguir em verdadeiras ou falsas. (A) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível garantir que todo número real positivo possui uma raiz quadrada.
Seja tal que , para todo . Calcule e .