Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x 0(tg(3 x) cossec(6 x))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites trigonométricos básicos e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão usando a definição de tan(3x) cdot csc(6x) = tan(3x) cdot 1sin(6x) . Sabemos que . Então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que sin(3x)cos(3x) cdot 1sin(6x) = sin(3x)cos(3x) cdot sin(6x) . Substituindo isso na expressão:

Passo 4

Simplificamos a expressão multiplicando os termos no denominador:
sin(3x)sin(6x) cdot cos(3x)

Passo 5

Vamos usar a identidade trigonométrica sin(3x)2sin(3x)cos(3x) cdot cos(3x) = sin(3x)2sin(3x)cos^2(3x) . Observamos que . Substituindo isso na expressão:

Passo 6

Cancelamos 12cos^2(3x) no numerador e denominador:

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando limx to 0 12cos^2(3x) = 12 cdot 1^2 = 12 tende a 0. Sabemos que , então:

Resposta

O limite é .

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