Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
lim (x, y) (0,0) 4 y^2x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . A função que temos é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e analisar como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Em funções de duas variáveis, o limite existe se, independente do caminho que a gente escolha para chegar no ponto , o resultado for o mesmo. Então, uma maneira de verificar isso é calcular o limite ao se aproximar por diferentes caminhos e ver se todos dão o mesmo valor.

Passo 3

Vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo 4 cdot 0^2x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0 , ou seja, quando . Substituindo por na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é .

Passo 4

Agora, vamos tentar outro caminho: o eixo 4 y^20^2 + y^2 = 4 y^2y^2 = 4 , onde . Substituindo por :
Assim, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é .

Passo 5

Como vimos, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é , e pelo eixo , o limite é . Como os valores são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Passo 6

De acordo com a definição de limite em várias variáveis, se o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto, então o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque o resultado varia dependendo do caminho de aproximação.

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