Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. A função que temos é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e analisar como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Em funções de duas variáveis, o limite existe se, independente do caminho que a gente escolha para chegar no ponto
, o resultado for o mesmo. Então, uma maneira de verificar isso é calcular o limite ao se aproximar por diferentes caminhos e ver se todos dão o mesmo valor.
Passo 3
Vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
por
na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é
.
Passo 4
Agora, vamos tentar outro caminho: o eixo
, onde
. Substituindo
por
:
Assim, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é
.
Passo 5
Como vimos, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é
, e pelo eixo
, o limite é
. Como os valores são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.
Passo 6
De acordo com a definição de limite em várias variáveis, se o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto, então o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe porque o resultado varia dependendo do caminho de aproximação.