Calcule os seguintes limites
lim (x, y) (pi / 2, pi) x sin (y-x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam e como calcular limites em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece com cada parte da função quando se aproxima de e se aproxima de . Olha só:
  • tende a .
  • tende a .

Passo 3

Agora, vamos calcular o seno dessa diferença que encontramos:
sin(y - x) approx sin(pi2)
Sabemos que .

Passo 4

Com isso, a função f(x, y) = x cdot sin(y - x) approx x cdot 1 = x fica assim perto do ponto de interesse:
Então, o limite de é basicamente o limite de quando se aproxima de .

Passo 5

Finalmente, calculamos:
limx to pi/2 x = pi2
Portanto, o limite procurado é .

Resposta

lim (x, y) (pi / 2, pi) x sin (y-x) = pi2

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