Use o Teorema de Stokes para calcular integralgamma F d r. Em cada caso, gamma é orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
a) F(x, y, z)=(x+y^2) i+(y+z^2) j+(z+x^2) k, gamma é o triângulo com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1). R: 1
b) F(x, y, z)=y z i+2 x z j+e^x y k, gamma é a circunferência x^2+y^2=16, z=5 R: 80 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício usando o Teorema de Stokes. A questão pede para calcular a integral de linha integralgamma F cdot dr onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (x + y^2) i + (y + z^2) j + (z + x^2) k. A curva gamma é um triângulo com vértices nos pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada com a integral de superfície da rotacional do campo vetorial sobre uma superfície limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
ointgamma F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde:
  • gamma é a curva fechada.
  • S é uma superfície que tem gamma como contorno.
  • nabla times F é a rotacional de F.
  • n é o vetor normal à superfície S.
Então, para aplicar o teorema, precisamos calcular a rotacional de F e depois fazer a integral de superfície.

Passo 3

Vamos calcular a rotacional de F. A fórmula para a rotacional é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Aplicando isso ao nosso campo F:
  • Fx = x + y^2
  • Fy = y + z^2
  • Fz = z + x^2
Então:
  • partial Fzpartial y = 0
  • partial Fypartial z = 2z
  • partial Fxpartial z = 0
  • partial Fzpartial x = 2x
  • partial Fypartial x = 0
  • partial Fxpartial y = 2y
Portanto:
nabla times F = (0 - 2z) i + (0 - 2x) j + (0 - 2y) k = -2z i - 2x j - 2y k

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S que seja limitada pela curva gamma. Como gamma é um triângulo no espaço definido pelos pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), uma boa escolha para S é a própria superfície triangular. Para facilitar a integração, vamos parametrizar essa superfície.
Uma maneira de parametrizar o triângulo é usar coordenadas barycentricas ou simplesmente expressar uma das variáveis em função das outras. Observando os pontos, podemos notar que na superfície temos a condição x + y + z = 1.

Passo 5

Vamos escolher a projeção da superfície sobre o plano xy. Para isso, vamos resolver z em termos de x e y:
z = 1 - x - y
Então, a parametrização da superfície é:
r(x, y) = x i + y j + (1 - x - y) k
Com x e y variando de 0 a 1 de forma que x + y <= 1.

Passo 6

Agora, precisamos calcular o vetor normal à superfície. Para isso, vamos calcular os vetores tangentes rx e ry:
rx = partial rpartial x = i - k
ry = partial rpartial y = j - k
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores:
n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 = (0 - (-1))i - (1 - 0)j + (1 - 0)k = i - j + k
Para garantir a orientação correta (sentido anti-horário visto de cima), o vetor normal deve apontar para cima. Como k está positiva, está tudo certo.

Passo 7

Agora, vamos calcular (nabla times F) cdot n:
nabla times F = -2z i - 2x j - 2y k
n = i - j + k
Portanto:
(nabla times F) cdot n = (-2z)(1) + (-2x)(-1) + (-2y)(1) = -2z + 2x - 2y
Lembrando que z = 1 - x - y, substituímos:
-2(1 - x - y) + 2x - 2y = -2 + 2x + 2y + 2x - 2y = -2 + 4x

Passo 8

Agora, vamos fazer a integração dupla sobre a região x + y <= 1, x >= 0, y >= 0:
integral duplaS (-2 + 4x) , dS
Como dS = dx dy na projeção sobre o plano xy, a integral fica:
integral0^1 integral0^1 - x (-2 + 4x) , dy , dx

Passo 9

Vamos integrar primeiro em relação a y:
integral0^1 - x (-2 + 4x) , dy = (-2 + 4x) cdot y |0^1 - x = (-2 + 4x)(1 - x)
Agora, simplificamos:
(-2 + 4x)(1 - x) = -2(1 - x) + 4x(1 - x) = -2 + 2x + 4x - 4x^2 = -2 + 6x - 4x^2

Passo 10

Agora, integramos com relação a x:
integral0^1 (-2 + 6x - 4x^2) , dx = [ -2x + 3x^2 - 43x^3 ]0^1 = (-2 + 3 - 43) - (0) = 1 - 43 = -13

Passo 11

Finalmente, aplicamos o Teorema de Stokes:
ointgamma F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = -13

Resposta

A integral integralgamma F cdot dr é igual a -dfrac13.

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