Use o Teorema de Stokes para calcular . Em cada caso, é orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.
a) , é o triângulo com vértices e (0,0,1). R: 1
b) , é a circunferência
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício usando o Teorema de Stokes. A questão pede para calcular a integral de linha onde o campo vetorial é . A curva é um triângulo com vértices nos pontos , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada com a integral de superfície da rotacional do campo vetorial sobre uma superfície limitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Onde:
é a curva fechada.
é uma superfície que tem como contorno.
é a rotacional de .
é o vetor normal à superfície .
Então, para aplicar o teorema, precisamos calcular a rotacional de e depois fazer a integral de superfície.
Passo 3
Vamos calcular a rotacional de . A fórmula para a rotacional é:
Aplicando isso ao nosso campo :
Então:
Portanto:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície que seja limitada pela curva . Como é um triângulo no espaço definido pelos pontos , e , uma boa escolha para é a própria superfície triangular. Para facilitar a integração, vamos parametrizar essa superfície.
Uma maneira de parametrizar o triângulo é usar coordenadas barycentricas ou simplesmente expressar uma das variáveis em função das outras. Observando os pontos, podemos notar que na superfície temos a condição .
Passo 5
Vamos escolher a projeção da superfície sobre o plano . Para isso, vamos resolver em termos de e :
Então, a parametrização da superfície é:
Com e variando de 0 a 1 de forma que .
Passo 6
Agora, precisamos calcular o vetor normal à superfície. Para isso, vamos calcular os vetores tangentes e :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores:
Para garantir a orientação correta (sentido anti-horário visto de cima), o vetor normal deve apontar para cima. Como k está positiva, está tudo certo.
Passo 7
Agora, vamos calcular (nabla times F) cdot n:
nabla times F = -2z i - 2x j - 2y k
n = i - j + k
Portanto:
(nabla times F) cdot n = (-2z)(1) + (-2x)(-1) + (-2y)(1) = -2z + 2x - 2y