Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
lim (x, y) (0,0) x^2 y^3-x^3 y^2x^2-y^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos calcular o limite da função
lim(x, y) (0,0) x^2 y^3-x^3 y^2x^2-y^2
Isso envolve conceitos de cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar a função passo a passo e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do limite:
x^2 y^3-x^3 y^2x^2-y^2
Podemos fatorar o numerador:
x^2 y^3 - x^3 y^2 = x^2 y^2(y - x)
E o denominador pode ser fatorado como diferença de quadrados:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
Então, a expressão fica:
x^2 y^2(y - x)(x - y)(x + y)

Passo 3

Observamos que x^2 y^2(- (x - y))(x - y)(x + y) = -x^2 y^2x + y . Substituindo isso na expressão:
f(x, y) = -x^2 y^2x + y
Assim, a função simplifica para:

Passo 4

Agora, para achar o limite quando f(r, theta) = - (r cos(theta))^2 (r sin(theta))^2 r cos(theta) + r sin(theta) se aproxima de f(r, theta) = - r^4 cos^2(theta) sin^2(theta) r (cos(theta) + sin(theta)) = - r^3 cos^2(theta) sin^2(theta) cos(theta) + sin(theta) , podemos usar coordenadas polares. Substituímos e , onde tende a 0.
Substituindo na função:
Simplificando:

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de f(r, theta) = - r^3 cos^2(theta) sin^2(theta) cos(theta) + sin(theta) quando tende a 0:
Como tende a 0 mais rapidamente que qualquer termo no denominador, e o denominador é finito para a maioria dos valores de , o limite da função será 0.

Resposta

lim(x, y) (0,0) x^2 y^3-x^3 y^2x^2-y^2 = 0

Exercícios relacionados