Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos calcular o limite da função
Isso envolve conceitos de cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar a função passo a passo e verificar se o limite existe ou não.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão do limite:
Podemos fatorar o numerador:
E o denominador pode ser fatorado como diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Observamos que
. Substituindo isso na expressão:
Assim, a função simplifica para:
Passo 4
Agora, para achar o limite quando
se aproxima de
, podemos usar coordenadas polares. Substituímos
e
, onde
tende a 0.
Substituindo na função:
Simplificando:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende a 0:
Como
tende a 0 mais rapidamente que qualquer termo no denominador, e o denominador
é finito para a maioria dos valores de
, o limite da função será 0.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites
.
Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
e) Explique o teorema do valor médio para integrais utilizando os resultados anteriores.