Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
f(x, y, z) = ln(z) / (x^2 + y^2)

Passo 1

Então, a gente tem uma função de três variáveis e queremos descobrir em quais pontos essa função é contínua. Isso envolve entender quando a função está bem definida e não apresenta “quebras” ou “saltos”. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre a definição do logaritmo natural e sobre onde o denominador da fração não pode ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da função, que é . O logaritmo natural só está definido para números positivos, então para existir, precisamos que .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador . Esse denominador é a soma dos quadrados de e , que sempre será maior ou igual a zero. O denominador só será zero quando e ao mesmo tempo.

Passo 4

Para a função ser contínua, o denominador não pode ser zero. Portanto, devemos excluir os pontos onde e simultaneamente.

Passo 5

Juntando as duas condições:
  1. para que esteja definido.
  2. para que o denominador não seja zero.

Resposta

A função é contínua para todos os pontos em que e não são ambos iguais a zero. Em outras palavras, o conjunto de continuidade é dado por:

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