Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
Passo 1
Então, a gente tem uma função de três variáveis
e queremos descobrir em quais pontos essa função é contínua. Isso envolve entender quando a função está bem definida e não apresenta “quebras” ou “saltos”. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre a definição do logaritmo natural e sobre onde o denominador da fração não pode ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da função, que é
. O logaritmo natural só está definido para números positivos, então para
existir, precisamos que
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador
. Esse denominador é a soma dos quadrados de
e
, que sempre será maior ou igual a zero. O denominador só será zero quando
e
ao mesmo tempo.
Passo 4
Para a função
ser contínua, o denominador não pode ser zero. Portanto, devemos excluir os pontos onde
e
simultaneamente.
Passo 5
Juntando as duas condições:
-
para que esteja definido. -
para que o denominador não seja zero.
Resposta
A função
é contínua para todos os pontos
em que
e
não são ambos iguais a zero. Em outras palavras, o conjunto de continuidade é dado por:
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Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
.
Calcule os seguintes limites
.
e) Explique o teorema do valor médio para integrais utilizando os resultados anteriores.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.