Calcule os seguintes limites
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, tendendo para os valores
. A matéria aqui é Cálculo Multivariável, especificamente o estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar limites em múltiplas dimensões e verificar se o limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir diretamente os valores para ver se conseguimos encontrar o limite de forma direta. Isso significa substituir
e
na expressão.
A função é:
Substituindo:
Passo 3
No entanto, é importante verificar se esse resultado é consistente em diferentes caminhos de aproximação para o ponto
. Isso é crucial porque, em funções de múltiplas variáveis, o limite pode depender do caminho seguido.
Vamos testar outro caminho. Por exemplo, aproximar-se ao longo da linha
.
Substituindo
na função:
Agora, calculando o limite quando
tende a 3:
O resultado é o mesmo, então até agora, o limite parece consistente.
Passo 4
Para garantir que o limite seja realmente
, podemos considerar mais um caminho de aproximação. Vamos, por exemplo, aproximar-nos ao longo da linha
.
Substituindo
na função:
Agora, calculando o limite quando
tende a -1:
O resultado continua sendo
.
Resposta
Após analisar diferentes caminhos de aproximação, concluímos que: