Calcule os seguintes limites
lim (x, y) (3,-1) x^2+y^2 x-1x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , tendendo para os valores . A matéria aqui é Cálculo Multivariável, especificamente o estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar limites em múltiplas dimensões e verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente os valores para ver se conseguimos encontrar o limite de forma direta. Isso significa substituir x^2 + y^2x - 1x^2 - y^2 e 3^2 + (-1)^2(3) - 13^2 - (-1)^2 = 9 + 1 cdot 3 - 19 - 1 = 9 + 3 - 18 = 118 na expressão.
A função é:
Substituindo:

Passo 3

No entanto, é importante verificar se esse resultado é consistente em diferentes caminhos de aproximação para o ponto x^2 + (-1)^2x - 1x^2 - (-1)^2 = x^2 + x - 1x^2 - 1 . Isso é crucial porque, em funções de múltiplas variáveis, o limite pode depender do caminho seguido.
Vamos testar outro caminho. Por exemplo, aproximar-se ao longo da linha 3^2 + 3 - 13^2 - 1 = 9 + 3 - 19 - 1 = 118 .
Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando tende a 3:
O resultado é o mesmo, então até agora, o limite parece consistente.

Passo 4

Para garantir que o limite seja realmente 3^2 + y^2 cdot 3 - 13^2 - y^2 = 9 + 3y^2 - 19 - y^2 = 8 + 3y^29 - y^2 , podemos considerar mais um caminho de aproximação. Vamos, por exemplo, aproximar-nos ao longo da linha 8 + 3(-1)^29 - (-1)^2 = 8 + 3 cdot 19 - 1 = 118 .
Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando tende a -1:
O resultado continua sendo .

Resposta

Após analisar diferentes caminhos de aproximação, concluímos que:
lim (x, y) (3,-1) x^2+y^2x -1x^2-y^2 = 118

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