Uma particula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=1-t^{2}$. a) Calcule o deslocamento entre os instantes $t=0$ e $t=2$.O que significa o resultado?
Passo 1
Vamos lá, a gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo $x$ com uma velocidade dada por $v(t) = 1 - t^{2}$. A pergunta é para calcular o deslocamento dessa partícula entre os instantes $t=0$ e $t=2$. Para resolver isso, vamos usar o conceito de **integral** da função velocidade, que nos dá o deslocamento total no intervalo de tempo considerado.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o **deslocamento ($\Delta x$)** é calculado integrando a função velocidade $v(t)$ no intervalo de tempo dado. A fórmula fica assim:
$$
\Delta x = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t) \, dt
$$
Aqui, $t_{1}$ é o tempo inicial e $t_{2}$ é o tempo final.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores que temos no enunciado. Temos $t_{1} = 0$, $t_{2} = 2$ e $v(t) = 1 - t^{2}$. Então:
$$
\Delta x = \int_{0}^{2} (1 - t^{2}) \, dt
$$
Vamos calcular essa integral passo a passo:
1. **Integral de $1$ em relação a $t$**:
$$\int 1 \, dt = t$$
2. **Integral de $t^{2}$ em relação a $t$**:
$$\int t^{2} \, dt = \frac{t^{3}}{3}$$
Então, substituindo na expressão do deslocamento:
$$
\Delta x = \left[ t - \frac{t^{3}}{3} \right]_{0}^{2}
$$
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de $0$ e $2$:
$$
\Delta x = \left(2 - \frac{8}{3}\right) - \left(0 - 0\right) = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}
$$
Passo 4
O resultado obtido foi $\Delta x = -\frac{2}{3}$. O sinal negativo indica que o deslocamento foi na direção **oposta** ao eixo positivo $x$. Ou seja, a partícula terminou $ \frac{2}{3}$ unidades atrás da posição inicial entre os instantes $t=0$ e $t=2$.
Resposta
O deslocamento da partícula entre $t=0$ e $t=2$ é $-\frac{2}{3}$ unidades na direção negativa do eixo $x$.