Uma particula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=1-t^{2}$. a) Calcule o deslocamento entre os instantes $t=0$ e $t=2$.O que significa o resultado?

Passo 1

Vamos lá, a gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo $x$ com uma velocidade dada por $v(t) = 1 - t^{2}$. A pergunta é para calcular o deslocamento dessa partícula entre os instantes $t=0$ e $t=2$. Para resolver isso, vamos usar o conceito de **integral** da função velocidade, que nos dá o deslocamento total no intervalo de tempo considerado.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o **deslocamento ($\Delta x$)** é calculado integrando a função velocidade $v(t)$ no intervalo de tempo dado. A fórmula fica assim: $$ \Delta x = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t) \, dt $$ Aqui, $t_{1}$ é o tempo inicial e $t_{2}$ é o tempo final.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que temos no enunciado. Temos $t_{1} = 0$, $t_{2} = 2$ e $v(t) = 1 - t^{2}$. Então: $$ \Delta x = \int_{0}^{2} (1 - t^{2}) \, dt $$ Vamos calcular essa integral passo a passo: 1. **Integral de $1$ em relação a $t$**: $$\int 1 \, dt = t$$ 2. **Integral de $t^{2}$ em relação a $t$**: $$\int t^{2} \, dt = \frac{t^{3}}{3}$$ Então, substituindo na expressão do deslocamento: $$ \Delta x = \left[ t - \frac{t^{3}}{3} \right]_{0}^{2} $$ Agora, avaliamos essa expressão nos limites de $0$ e $2$: $$ \Delta x = \left(2 - \frac{8}{3}\right) - \left(0 - 0\right) = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3} $$

Passo 4

O resultado obtido foi $\Delta x = -\frac{2}{3}$. O sinal negativo indica que o deslocamento foi na direção **oposta** ao eixo positivo $x$. Ou seja, a partícula terminou $ \frac{2}{3}$ unidades atrás da posição inicial entre os instantes $t=0$ e $t=2$.

Resposta

O deslocamento da partícula entre $t=0$ e $t=2$ é $-\frac{2}{3}$ unidades na direção negativa do eixo $x$.

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