e) Explique o teorema do valor médio para integrais utilizando os resultados anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma questão pedindo para explicar o Teorema do Valor Médio para Integrais usando os resultados que a gente já viu antes. Esse teorema é super importante no cálculo e ajuda a gente a entender como uma função se comporta em um intervalo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de conceitos de integrais e do teorema do valor médio para derivadas, que já estudamos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Valor Médio para Derivadas. Ele diz que se uma função
é contínua no intervalo
e diferenciável no intervalo
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada da função é igual à inclinação da reta que liga os pontos
e
. Em fórmula:
Passo 3
Agora, vamos para o Teorema do Valor Médio para Integrais. Esse teorema é uma espécie de “parente distante” do teorema das derivadas que acabamos de ver. Ele afirma que se a função
é contínua no intervalo
, então existe pelo menos um ponto
em
onde o valor da função nesse ponto é igual à média dos valores da função no intervalo. Isso pode ser representado pela fórmula:
Isso significa que a área sob a curva de
no intervalo
é igual à área de um retângulo de altura
e base
.
Passo 4
Para chegar a esse resultado, a gente pode usar o Teorema do Valor Médio para Derivadas como base. Imagine que a integral
representa a área sob a curva de
de
a
. A média dessa função no intervalo é
. Segundo o teorema, esse valor médio é alcançado em algum ponto
no intervalo, ou seja,
é exatamente essa média.
Resposta
O Teorema do Valor Médio para Integrais afirma que se uma função
é contínua no intervalo
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Isso significa que a área sob a curva de
no intervalo
é igual à área de um retângulo com altura
e base
.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.
Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
.