e) Explique o teorema do valor médio para integrais utilizando os resultados anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma questão pedindo para explicar o Teorema do Valor Médio para Integrais usando os resultados que a gente já viu antes. Esse teorema é super importante no cálculo e ajuda a gente a entender como uma função se comporta em um intervalo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de conceitos de integrais e do teorema do valor médio para derivadas, que já estudamos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Valor Médio para Derivadas. Ele diz que se uma função é contínua no intervalo e diferenciável no intervalo , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada da função é igual à inclinação da reta que liga os pontos e . Em fórmula:

Passo 3

Agora, vamos para o Teorema do Valor Médio para Integrais. Esse teorema é uma espécie de “parente distante” do teorema das derivadas que acabamos de ver. Ele afirma que se a função é contínua no intervalo , então existe pelo menos um ponto em onde o valor da função nesse ponto é igual à média dos valores da função no intervalo. Isso pode ser representado pela fórmula:
Isso significa que a área sob a curva de no intervalo é igual à área de um retângulo de altura e base .

Passo 4

Para chegar a esse resultado, a gente pode usar o Teorema do Valor Médio para Derivadas como base. Imagine que a integral representa a área sob a curva de de a . A média dessa função no intervalo é . Segundo o teorema, esse valor médio é alcançado em algum ponto no intervalo, ou seja, é exatamente essa média.

Resposta

O Teorema do Valor Médio para Integrais afirma que se uma função é contínua no intervalo , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Isso significa que a área sob a curva de no intervalo é igual à área de um retângulo com altura e base .

Exercícios relacionados

Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
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Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
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Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
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