Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções trigonométricas. A gente precisa calcular o limite quando os valores de e se aproximam de e , respectivamente. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão que temos:
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador. Sabemos que . Substituindo isso, temos:
Agora, a expressão fica:

Passo 4

Perceba que o termo aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar:
Agora, a expressão está mais simples para calcular o limite.

Passo 5

Vamos substituir os valores para onde e estão se aproximando. Sabemos que:
Substituindo na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 1.

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.
e) Explique o teorema do valor médio para integrais utilizando os resultados anteriores.
Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.