Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
lim (x, y) (pi / 2, pi) cos x-sin 2 xcos x cos y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções trigonométricas. A gente precisa calcular o limite quando os valores de e se aproximam de e , respectivamente. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão que temos:
cos x - sin 2xcos x cos y
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador. Sabemos que cos x - sin 2x = cos x - 2 sin x cos x = cos x (1 - 2 sin x) . Substituindo isso, temos:
cos x (1 - 2 sin x)cos x cos y
Agora, a expressão fica:

Passo 4

Perceba que o termo 1 - 2 sin xcos y aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar:
Agora, a expressão está mais simples para calcular o limite.

Passo 5

Vamos substituir os valores para onde sin(pi2) = 1 e cos(pi) = -1 e 1 - 2 times 1-1 = -1-1 = 1 estão se aproximando. Sabemos que:
Substituindo na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 1.

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