Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação de funções logarítmicas e entender como calcular derivadas parciais, ou seja, derivadas em relação a uma variável mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
.
A função é:
Para derivar uma função logarítmica, usamos a regra que diz:
Aqui,
.
Como estamos derivando em relação a
, consideramos
e
como constantes. Então:
Aplicando a regra:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a mesma regra para derivadas logarítmicas:
Aqui,
.
Derivando
em relação a
:
Aplicando a regra:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usamos novamente a regra para derivadas logarítmicas:
Aqui,
.
Derivando
em relação a
:
Aplicando a regra:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
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Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
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Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso