Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
f(x, y, z) = ln(2 x + y^2 - 4 z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação de funções logarítmicas e entender como calcular derivadas parciais, ou seja, derivadas em relação a uma variável mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente denota por .
A função é:
Para derivar uma função logarítmica, usamos a regra que diz:
Aqui, .
Como estamos derivando em relação a , consideramos e como constantes. Então:
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, usamos a mesma regra para derivadas logarítmicas:
Aqui, .
Derivando em relação a :
Aplicando a regra:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usamos novamente a regra para derivadas logarítmicas:
Aqui, .
Derivando em relação a :
Aplicando a regra:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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