Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, precisaremos usar as regras de derivação de funções compostas, como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. Isso significa que vamos derivar
considerando
como uma constante.
A função é
. Para derivar em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, derivamos
em relação a
. Como
é uma constante quando derivamos em relação a
:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. Isso significa que vamos derivar
considerando
como uma constante.
Novamente, usamos a regra da cadeia para derivar
:
Passo 6
Derivamos
em relação a
. Aqui,
é uma constante, então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando, obtemos:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e
Exercícios relacionados
e) Explique o teorema do valor médio para integrais utilizando os resultados anteriores.
Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
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Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
.