Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, precisaremos usar as regras de derivação de funções compostas, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Isso significa que vamos derivar considerando como uma constante.
A função é . Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, derivamos em relação a . Como é uma constante quando derivamos em relação a :

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Isso significa que vamos derivar considerando como uma constante.
Novamente, usamos a regra da cadeia para derivar :

Passo 6

Derivamos em relação a . Aqui, é uma constante, então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando, obtemos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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e) Explique o teorema do valor médio para integrais utilizando os resultados anteriores.
Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
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Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
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