Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
lim (x, y) (0,0) x y^2 e^xx^2+y^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o limite de uma função de duas variáveis quando lim (x, y) (0,0) x y^2 e^xx^2+y^4 se aproxima de . O enunciado é:
Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que x y^2x^2 + y^4 pode ser aproximado por 1 quando é próximo de 0, porque . Então, nossa função fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de . Se obtivermos resultados diferentes para caminhos distintos, isso significa que o limite não existe.

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos considerar x cdot 0^2x^2 + 0^4 = 0x^2 = 0 . Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 5

Segundo caminho: Agora, vamos considerar 0 cdot y^20^2 + y^4 = 0y^4 = 0 . Substituindo na função:
Novamente, o limite é 0.

Passo 6

Terceiro caminho: Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, x cdot (k raizx)^2x^2 + (k raizx)^4 = x cdot k^2 xx^2 + k^4 x^2 = k^2 x^2(1 + k^4) x^2 = k^21 + k^4 , onde é uma constante. Substituindo na função:
Neste caso, o limite depende do valor de .

Passo 7

Como o limite ao longo do caminho depende de , isso significa que diferentes caminhos dão diferentes resultados para o limite. Por exemplo:
  • Se , o limite é .
  • Se , voltamos ao primeiro caminho, com limite 0.

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos para resultam em valores distintos.

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