Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. O enunciado é:
Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que
pode ser aproximado por 1 quando
é próximo de 0, porque
. Então, nossa função fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de
. Se obtivermos resultados diferentes para caminhos distintos, isso significa que o limite não existe.
Passo 4
Primeiro caminho: Vamos considerar
. Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Passo 5
Segundo caminho: Agora, vamos considerar
. Substituindo na função:
Novamente, o limite é 0.
Passo 6
Terceiro caminho: Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo,
, onde
é uma constante. Substituindo na função:
Neste caso, o limite depende do valor de
.
Passo 7
Como o limite ao longo do caminho
depende de
, isso significa que diferentes caminhos dão diferentes resultados para o limite. Por exemplo:
- Se
, o limite é . - Se
, voltamos ao primeiro caminho, com limite 0.
Resposta
O limite não existe porque diferentes caminhos para
resultam em valores distintos.
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.
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e
.