Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
Passo 1
Então, a gente quer encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está relacionado com o estudo de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis separadamente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de derivação, como a derivada de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Como
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
, a expressão
pode ser vista como uma constante multiplicada por
.
Passo 3
A derivada de
em relação a
é
. Então, aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Dessa vez,
é tratado como uma constante. A função
pode ser reescrita como
.
Passo 5
A derivada de
em relação a
é
. Então, multiplicando pela constante
, temos:
Passo 6
Simplificando
e
em termos de funções básicas:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
Exercícios relacionados
Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.
Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.