A capacidade vital
dos pulmões é o maior volume (em milímetros) que pode ser exalado depois de uma inalação máxima de ar. Para uma pessoa adulta padrão, o valor de
pode ser calculado como
onde
é a altura em centímetros e
é a idade em anos. Calcule e interprete as derivadas parciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular as derivadas parciais
e
da capacidade vital dos pulmões, que depende da altura
e da idade
. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicá-las em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula dada:
Aqui,
é a capacidade vital,
é a altura em centímetros e
é a idade em anos. Queremos encontrar como
muda quando apenas a idade ou apenas a altura mudam, mantendo a outra constante. Essas mudanças são representadas pelas derivadas parciais
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial
, que mostra como
varia quando a idade
muda, mantendo a altura
constante.
Para isso, derivamos
em relação a
:
Como
não depende de
, sua derivada em relação a
é zero. Já a segunda parte,
, derivada em relação a
é
.
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial
, que mostra como
varia quando a altura
muda, mantendo a idade
constante.
Derivando
em relação a
:
Aqui, derivamos termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Assim:
Resposta
As derivadas parciais são:
Isso significa que a capacidade vital diminui
milímetros para cada ano a mais de idade, mantendo a altura constante, e aumenta
milímetros para cada centímetro a mais de altura, descontando a variação causada pela idade.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.
Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
.
Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
.
Determine o conjunto de pontos onde a função é continua