A capacidade vital dos pulmões é o maior volume (em milímetros) que pode ser exalado depois de uma inalação máxima de ar. Para uma pessoa adulta padrão, o valor de pode ser calculado como
onde é a altura em centímetros e é a idade em anos. Calcule e interprete as derivadas parciais e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular as derivadas parciais e da capacidade vital dos pulmões, que depende da altura e da idade . Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicá-las em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dada:
Aqui, é a capacidade vital, é a altura em centímetros e é a idade em anos. Queremos encontrar como muda quando apenas a idade ou apenas a altura mudam, mantendo a outra constante. Essas mudanças são representadas pelas derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial , que mostra como varia quando a idade muda, mantendo a altura constante.
Para isso, derivamos em relação a :
Como não depende de , sua derivada em relação a é zero. Já a segunda parte, , derivada em relação a é .
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial , que mostra como varia quando a altura muda, mantendo a idade constante.
Derivando em relação a :
Aqui, derivamos termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Assim:

Resposta

As derivadas parciais são:
Isso significa que a capacidade vital diminui milímetros para cada ano a mais de idade, mantendo a altura constante, e aumenta milímetros para cada centímetro a mais de altura, descontando a variação causada pela idade.

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.
Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
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Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
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Determine o conjunto de pontos onde a função é continua