Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente das derivadas parciais, que mostram como a função muda em relação a cada variável mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é escrita como
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos a função em relação a
.
A função é:
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (lembra que é uma constante). - A derivada de
em relação a é (constante).
Então, somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos a função em relação a
.
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (pois não há nesse termo). - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Somando tudo:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
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.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
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e
.
Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
.