Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
f(x, y) = 3 x^2 + y x^3 + 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente das derivadas parciais, que mostram como a função muda em relação a cada variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é escrita como . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos a função em relação a .
A função é:
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (lembra que é uma constante).
  • A derivada de em relação a é (constante).
Então, somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, tratamos como uma constante e derivamos a função em relação a .
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é (pois não há nesse termo).
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Somando tudo:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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