Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para calcular:
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, mais especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre o comportamento das funções trigonométricas próximas de zero e das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração, que é . Quando se aproxima de , os valores de e vão para zero. Sabemos que , então vai se aproximar de 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador, . Quando o ângulo dentro do seno é pequeno, ou seja, quando é próximo de zero, podemos usar a aproximação . Então, quando está próximo de .

Passo 4

Substituindo essa aproximação na nossa expressão original, temos:
Então, o limite se torna:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Tanto quanto estão indo para zero, então o produto deles, , também vai para zero.

Passo 6

Para confirmar que o limite é realmente zero, podemos verificar diferentes caminhos de aproximação:
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então , que também vai para zero quando vai para zero.
Como em todos os caminhos o limite é zero, podemos concluir que o limite existe e é igual a zero.

Resposta

O limite é igual a .

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
.
Determine o conjunto de pontos onde a função é continua
Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso