Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que pede para calcular:
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, mais especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre o comportamento das funções trigonométricas próximas de zero e das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração, que é
. Quando
se aproxima de
, os valores de
e
vão para zero. Sabemos que
, então
vai se aproximar de 1.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o numerador,
. Quando o ângulo dentro do seno é pequeno, ou seja, quando
é próximo de zero, podemos usar a aproximação
. Então,
quando
está próximo de
.
Passo 4
Substituindo essa aproximação na nossa expressão original, temos:
Então, o limite se torna:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Tanto
quanto
estão indo para zero, então o produto deles,
, também vai para zero.
Passo 6
Para confirmar que o limite é realmente zero, podemos verificar diferentes caminhos de aproximação:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então , que também vai para zero quando vai para zero.
Como em todos os caminhos o limite é zero, podemos concluir que o limite existe e é igual a zero.
Resposta
O limite é igual a
.
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e
.
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.
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Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso