Calcule os seguintes limites, caso existam. Se o limite não existir mostre porque isso acontece.
lim (x, y) (0,0) sin x ye^x+y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para calcular:
lim (x, y) (0,0) sin(x y)e^x+y
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, mais especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre o comportamento das funções trigonométricas próximas de zero e das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração, que é e^x+y. Quando (x, y) se aproxima de (0,0), os valores de x e y vão para zero. Sabemos que e^0 = 1, então e^x+y vai se aproximar de 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador, sin(xy). Quando o ângulo dentro do seno é pequeno, ou seja, quando xy é próximo de zero, podemos usar a aproximação sin(z) approx z. Então, sin(xy) approx xy quando (x, y) está próximo de (0,0).

Passo 4

Substituindo essa aproximação na nossa expressão original, temos:
sin(x y)e^x+y approx xy1 = xy
Então, o limite se torna:
lim (x, y) (0,0) xy

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de xy quando (x, y) se aproxima de (0,0). Tanto x quanto y estão indo para zero, então o produto deles, xy, também vai para zero.

Passo 6

Para confirmar que o limite é realmente zero, podemos verificar diferentes caminhos de aproximação:
  • Se x = 0, então xy = 0.
  • Se y = 0, então xy = 0.
  • Se y = x, então xy = x^2, que também vai para zero quando x vai para zero.
Como em todos os caminhos o limite é zero, podemos concluir que o limite existe e é igual a zero.

Resposta

O limite é igual a 0.

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