Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada caso
g(r, s) = e^r / (4s + 3r^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente precisa encontrar as derivadas de primeira ordem da função em relação a e . Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se você tem uma função , a derivada em relação a é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular e :
  • (já que é tratado como constante)

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aqui, é tratado como constante, então a derivada fica mais simples. A função pode ser vista como multiplicado por .

Passo 6

Usando a regra da potência para derivar em relação a :

Passo 7

Multiplicando pela constante :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
e

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