Calcule os seguintes limites, caso existirem
(a) lim z 0 z^2barz^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite . Aqui, estamos lidando com números complexos, onde é um número complexo e é o seu conjugado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites em funções de números complexos e como manipular expressões com conjugados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o conjugado de um número complexo. Se , então o conjugado , onde e são números reais. Isso nos ajuda a trabalhar com as partes real e imaginária separadamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy e z^2 = (x - iy)^2 = x^2 - y^2 - 2ixy :

Passo 4

Substituindo essas expressões no limite, temos:
z^2z^2 = x^2 - y^2 + 2ixyx^2 - y^2 - 2ixy

Passo 5

Para simplificar, vamos analisar o comportamento dessa fração quando se aproxima de 0. Isso significa que e estão se aproximando de 0. Em limites de funções complexas, o resultado pode depender do caminho pelo qual se aproxima de 0.

Passo 6

Vamos testar dois caminhos diferentes:
  1. Alongando o eixo real ( z^2z^2 = x^2x^2 = 1 ):
z^2z^2 = x^2 - x^2 + 2ix^2x^2 - x^2 - 2ix^2 = 2ix^2-2ix^2 = -1
  1. Alongando a linha :

Passo 7

Vemos que dependendo do caminho que escolhemos para se aproximar de 0, o valor do limite muda (1 ou -1). Isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe, pois o resultado depende do caminho pelo qual se aproxima de 0.

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