Calcule os seguintes limites, caso existirem
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite
. Aqui, estamos lidando com números complexos, onde
é um número complexo e
é o seu conjugado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites em funções de números complexos e como manipular expressões com conjugados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o conjugado de um número complexo. Se
, então o conjugado
, onde
e
são números reais. Isso nos ajuda a trabalhar com as partes real e imaginária separadamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
Substituindo essas expressões no limite, temos:
Passo 5
Para simplificar, vamos analisar o comportamento dessa fração quando
se aproxima de 0. Isso significa que
e
estão se aproximando de 0. Em limites de funções complexas, o resultado pode depender do caminho pelo qual
se aproxima de 0.
Passo 6
Vamos testar dois caminhos diferentes:
- Alongando o eixo real (
):
- Alongando a linha
:
Passo 7
Vemos que dependendo do caminho que escolhemos para
se aproximar de 0, o valor do limite muda (1 ou -1). Isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite
não existe, pois o resultado depende do caminho pelo qual
se aproxima de 0.