Calcule os seguintes limites no caso de existirem, e se não existirem justifique também.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de
da função
. Aqui, estamos lidando com limites em duas variáveis, que é um conteúdo de Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe seguindo alguns caminhos diferentes para
e ver se conseguimos chegar ao mesmo valor.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do numerador:
. Sabemos que
pode ser expandido usando a série de Taylor em torno de
:
Para valores muito pequenos de
, podemos aproximar
.
Substituindo na expressão original:
Passo 3
Agora, vamos analisar esse novo limite:
Para verificar se o limite existe, vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se o resultado é o mesmo.
Passo 4
Caminho 1:
Substituindo
:
Caminho 2:
Substituindo
:
Passo 5
Como os limites ao longo dos caminhos
e
resultaram em valores diferentes (2 e
), isso indica que o limite geral não existe. Para um limite existir em duas variáveis, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para
.
Resposta
O limite
não existe, pois os valores do limite variam dependendo do caminho seguido para
.
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Resolva os limites.
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Sendo
e
, obtenha:
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Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva.