Calcule os seguintes limites no caso de existirem, e se não existirem justifique também.
(a) lim (x, y) (0,0) e^2 x-(y+1)x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de da função . Aqui, estamos lidando com limites em duas variáveis, que é um conteúdo de Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe seguindo alguns caminhos diferentes para e ver se conseguimos chegar ao mesmo valor.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do numerador: e^2x = 1 + 2x + (2x)^22! + (2x)^33! + dots . Sabemos que e^2x - (y + 1)x + y approx (1 + 2x) - (y + 1)x + y = 2x - yx + y pode ser expandido usando a série de Taylor em torno de :
Para valores muito pequenos de , podemos aproximar .
Substituindo na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos analisar esse novo limite:
lim(x, y) to (0,0) 2x - yx + y
Para verificar se o limite existe, vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se o resultado é o mesmo.

Passo 4

Caminho 1: limx to 0 2x - 0x + 0 = limx to 0 2xx = 2
Substituindo limx to 0 2x - xx + x = limx to 0 x2x = 12 :
Caminho 2:
Substituindo :

Passo 5

Como os limites ao longo dos caminhos e resultaram em valores diferentes (2 e ), isso indica que o limite geral não existe. Para um limite existir em duas variáveis, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para .

Resposta

O limite não existe, pois os valores do limite variam dependendo do caminho seguido para .

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