Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva.
y = (1 + x^4) / (x^2 - 4x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício de encontrar as assíntotas horizontais e verticais da curva dada pela função . Isso envolve entender sobre funções racionais e como elas se comportam quando vai para certos valores ou para o infinito. Vamos precisar analisar os limites da função e identificar onde o denominador se anula sem que o numerador também anule, entre outras coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas assíntotas aparecem onde o denominador da fração é zero, mas o numerador não é zero nesses pontos. Isso porque a função tende ao infinito nessas situações.

Passo 3

Para achar onde o denominador é zero, vamos resolver a equação .
Então, as soluções são e . Esses são os pontos onde podemos ter possíveis assíntotas verticais.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se o numerador não é zero nesses pontos. Vamos substituir e na expressão do numerador :
  • Para :
  • Para :
Como o numerador não é zero em nenhum desses pontos, temos duas assíntotas verticais: e .

Passo 5

Agora, vamos buscar as assíntotas horizontais. Para isso, comparamos os graus do numerador e do denominador da função.
  • Grau do numerador : 4
  • Grau do denominador : 2
Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a função não tem assíntotas horizontais. Em vez disso, nesse caso, pode haver uma assíntota oblíqua ou comportamentos mais complexos no infinito, mas não uma assíntota horizontal.

Resposta

A função possui duas assíntotas verticais em e , e não possui assíntotas horizontais.

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