Calcule os seguintes limites no caso de existirem, e se não existirem justifique também.
(b)

Passo 1

Vamos calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproximam de . A função que precisamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções de várias variáveis, usar séries de Taylor para aproximar funções trigonométricas e simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador usando a expansão em série de Taylor da função cosseno. Sabemos que para valores pequenos de :
Aplicando isso a :
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa aproximação no numerador da nossa função:
Portanto, a função fica:

Passo 4

Vamos simplificar o denominador . Podemos reescrever isso como:
Portanto, o denominador é .

Passo 5

Agora, temos:
Podemos cancelar um no numerador e denominador:
À medida que se aproxima de , tanto quanto tendem a zero, então também tende a zero. Portanto, todo o termo acima tende a zero.

Resposta

O limite é .

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©
Encontre o volume do cilindro delimitado por . Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.
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(b)