Calcule os seguintes limites no caso de existirem, e se não existirem justifique também.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproximam de
. A função que precisamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções de várias variáveis, usar séries de Taylor para aproximar funções trigonométricas e simplificar expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador usando a expansão em série de Taylor da função cosseno. Sabemos que para valores pequenos de
:
Aplicando isso a
:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa aproximação no numerador da nossa função:
Portanto, a função fica:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador
. Podemos reescrever isso como:
Portanto, o denominador é
.
Passo 5
Agora, temos:
Podemos cancelar um
no numerador e denominador:
À medida que
se aproxima de
, tanto
quanto
tendem a zero, então
também tende a zero. Portanto, todo o termo acima tende a zero.
Resposta
O limite é
.
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Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva.
Sendo
e
, obtenha:
©
©
Encontre o volume do cilindro delimitado por
. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.
Calcule o valor numérico das expressōes:
(b)
(b)