Calcule os seguintes limites no caso de existirem, e se não existirem justifique também.
(b) lim (x, y) (0,0) (cos (x+y)-1)(x-y)^2x^2+2 y^2-2 x y

Passo 1

Vamos calcular o limite de uma função de duas variáveis quando lim (x, y) (0,0) (cos (x+y)-1)(x-y)^2x^2+2 y^2-2 x y se aproximam de . A função que precisamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções de várias variáveis, usar séries de Taylor para aproximar funções trigonométricas e simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador usando a expansão em série de Taylor da função cosseno. Sabemos que para valores pequenos de cos(z) approx 1 - z^22 :
cos(x + y) approx 1 - (x + y)^22
Aplicando isso a cos(x + y) - 1 approx -(x + y)^22 :
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa aproximação no numerador da nossa função:
(cos(x+y) - 1)(x - y)^2 approx (-(x + y)^22)(x - y)^2 = -(x + y)^2 (x - y)^22
Portanto, a função fica:
-(x + y)^2 (x - y)^22 x^2 + 2 y^2 - 2 x y

Passo 4

Vamos simplificar o denominador x^2 - 2 x y + 2 y^2 = x^2 - 2 x y + y^2 + y^2 = (x - y)^2 + y^2 . Podemos reescrever isso como:
Portanto, o denominador é .

Passo 5

Agora, temos:
-(x + y)^2 (x - y)^22 (x - y)^2 + y^2 = -(x + y)^2 (x - y)^22[(x - y)^2 + y^2]
Podemos cancelar um - (x + y)^22 (1 + y^2(x - y)^2) no numerador e denominador:
À medida que se aproxima de , tanto quanto tendem a zero, então também tende a zero. Portanto, todo o termo acima tende a zero.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados