Encontre o volume do cilindro delimitado por . Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um cilindro limitado pelas equações , e . Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente integrais triplas, para achar esse volume. Precisamos montar uma integral tripla que descreva esse cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar como é esse cilindro. A equação representa um círculo no plano com raio . Quando a gente adiciona as limitações de e , estamos basicamente criando um cilindro que vai do plano até , com o círculo formando a base e o topo do cilindro.

Passo 3

Para facilitar a montagem da integral, vamos usar coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, um ponto é representado por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a altura.
As coordenadas cilíndricas são super úteis para problemas com simetria circular, como esse cilindro.

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • Para : O raio varia de 0 até , então .
  • Para : Para cobrir todo o círculo, vai de 0 até , ou seja, .
  • Para : Como o cilindro vai de até , temos .

Passo 5

Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla. Lembrando que, em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . Então, a integral fica assim:

Passo 6

Essa integral vai calcular o volume do cilindro somando todos os pequenos volumes dentro dos limites que definimos. Resolvendo essa integral, a gente chegará ao volume total do cilindro.

Resposta

O volume do cilindro é dado pela integral tripla:

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(b)
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(b)
Encontre a linearização da função no ponto , e use-a para encontrar um valor aproximado para .
OBS: Só para conhecimento, saiba que (aproximação com 7 casas decimais depois da vírgula).