Encontre o volume do cilindro delimitado por
. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um cilindro limitado pelas equações
,
e
. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente integrais triplas, para achar esse volume. Precisamos montar uma integral tripla que descreva esse cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar como é esse cilindro. A equação
representa um círculo no plano
com raio
. Quando a gente adiciona as limitações de
e
, estamos basicamente criando um cilindro que vai do plano
até
, com o círculo formando a base e o topo do cilindro.
Passo 3
Para facilitar a montagem da integral, vamos usar coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, um ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a altura.
As coordenadas cilíndricas são super úteis para problemas com simetria circular, como esse cilindro.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração:
- Para
: O raio varia de 0 até , então . - Para
: Para cobrir todo o círculo, vai de 0 até , ou seja, . - Para
: Como o cilindro vai de até , temos .
Passo 5
Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla. Lembrando que, em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
. Então, a integral fica assim:
Passo 6
Essa integral vai calcular o volume do cilindro somando todos os pequenos volumes
dentro dos limites que definimos. Resolvendo essa integral, a gente chegará ao volume total do cilindro.
Resposta
O volume do cilindro é dado pela integral tripla:
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites no caso de existirem, e se não existirem justifique também.
(b)
(b)
Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva.
Calcule o valor numérico das expressōes:
(b)
(b)
Encontre a linearização
da função
no ponto
, e use-a para encontrar um valor aproximado para
.
OBS: Só para conhecimento, saiba que (aproximação com 7 casas decimais depois da vírgula).
OBS: Só para conhecimento, saiba que