Calcule os seguintes limites
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso faz parte do conteúdo de limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e eliminar possíveis indeterminações.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece. Substituindo no numerador:
E no denominador:
Então, a gente tem
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Quando a substituição direta dá
, uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos simplificar a fração. Vamos fatorar o numerador
.
Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
:
Passo 4
Agora, nossa expressão fica:
A gente pode simplificar cancelando o termo
no numerador e no denominador, desde que
(o que está dentro do contexto do limite):
Passo 5
Depois de simplificar, a expressão ficou bem mais fácil:
. Agora, basta substituir
por
:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Um disco de raio está rodando no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante
. Uma partícula inicia no centro do disco e se move em direção às bordas em uma direcção radial fixa de forma que sua posição no instante
, é dada por
, onde
(a) Mostre que a velocidade
da partícula é
onde
é a velocidade do ponto na borda do disco.
(b) Mostre que a aceleração da partícula é
(b) Mostre que a aceleração
onde
é a aceleraçăo na borda do disco. O termo extra
é chamado aceleração de Coriolis; é o resultado da interação entre a rotaçăo do disco e o movimento da particula. Podemos obter uma demonstração física dessa aceleração andando em direção à borda de um carrossel.
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação
Encontre
e
.
(a)
(a)
Uma partícula se move com função posição
. Determine a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração da partícula.
Considere a função
.
(a) Calcule .
(a) Calcule