Calcule os seguintes limites
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso faz parte do conteúdo de limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e eliminar possíveis indeterminações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece. Substituindo no numerador:
E no denominador:
Então, a gente tem , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Quando a substituição direta dá , uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos simplificar a fração. Vamos fatorar o numerador .
Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :

Passo 4

Agora, nossa expressão fica:
A gente pode simplificar cancelando o termo no numerador e no denominador, desde que (o que está dentro do contexto do limite):

Passo 5

Depois de simplificar, a expressão ficou bem mais fácil: . Agora, basta substituir por :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Um disco de raio está rodando no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante . Uma partícula inicia no centro do disco e se move em direção às bordas em uma direcção radial fixa de forma que sua posição no instante , é dada por , onde
(a) Mostre que a velocidade da partícula é
onde é a velocidade do ponto na borda do disco.
(b) Mostre que a aceleração da partícula é
onde é a aceleraçăo na borda do disco. O termo extra é chamado aceleração de Coriolis; é o resultado da interação entre a rotaçăo do disco e o movimento da particula. Podemos obter uma demonstração física dessa aceleração andando em direção à borda de um carrossel.
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação
Encontre e .
(a)
Uma partícula se move com função posição . Determine a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração da partícula.
Considere a função .
(a) Calcule .