Calcule os seguintes limites
(d) lim x -4 x^2+2 x-8x+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função x^2+2x-8x+4 quando x se aproxima de -4. Isso faz parte do conteúdo de limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e eliminar possíveis indeterminações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = -4 diretamente na expressão para ver o que acontece. Substituindo no numerador:
(-4)^2 + 2(-4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0
E no denominador:
-4 + 4 = 0
Então, a gente tem 00, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Quando a substituição direta dá 00, uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos simplificar a fração. Vamos fatorar o numerador x^2 + 2x - 8.
Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão -8 e somados dão 2. Esses números são 4 e -2:
x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)

Passo 4

Agora, nossa expressão fica:
(x + 4)(x - 2)x + 4
A gente pode simplificar cancelando o termo (x + 4) no numerador e no denominador, desde que x neq -4 (o que está dentro do contexto do limite):
(x + 4)cancel(x - 2)cancelx + 4 = x - 2

Passo 5

Depois de simplificar, a expressão ficou bem mais fácil: x - 2. Agora, basta substituir x por -4:
-4 - 2 = -6

Resposta

O limite é -6.

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