Encontre
e
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, já que
é função de
e
, que por sua vez são funções de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as expressões que temos:
Nosso objetivo é encontrar
e
.
Passo 3
Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Isso significa que:
E de forma similar para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Primeiro,
e
:
Depois,
e
:
E
e
:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na expressão da regra da cadeia.
Para
:
Para
:
Passo 6
Podemos simplificar ainda mais, se quisermos expressar
em termos de
e
, mas a forma acima já é válida. No entanto, se preferir, podemos substituir
de volta:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Encontre a curvatura da curva
no ponto (1, 1).
Usando a regra da cadeia, calcule
.
(b)
(b)
Um disco de raio está rodando no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante
. Uma partícula inicia no centro do disco e se move em direção às bordas em uma direcção radial fixa de forma que sua posição no instante
, é dada por
, onde
(a) Mostre que a velocidade
da partícula é
onde
é a velocidade do ponto na borda do disco.
(b) Mostre que a aceleração da partícula é
(b) Mostre que a aceleração
onde
é a aceleraçăo na borda do disco. O termo extra
é chamado aceleração de Coriolis; é o resultado da interação entre a rotaçăo do disco e o movimento da particula. Podemos obter uma demonstração física dessa aceleração andando em direção à borda de um carrossel.
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação
Calcule os seguintes limites
(d)
(d)