Encontre partial z / partial u e partial z / partial v.
(a) z=x e^y, x=u^2+v^2, y=u^2-v^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, já que é função de e , que por sua vez são funções de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões que temos:
z = x e^y, x = u^2 + v^2, y = u^2 - v^2
Nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Isso significa que:
partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u
E de forma similar para partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v :

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Primeiro, partial zpartial x = e^y, partial zpartial y = x e^y e partial xpartial u = 2u, partial xpartial v = 2v :
partial ypartial u = 2u, partial ypartial v = -2v
Depois, e :
E e :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na expressão da regra da cadeia.
Para partial zpartial u = e^y cdot 2u + x e^y cdot 2u = 2u e^y + 2u x e^y = 2u e^y (1 + x) :
partial zpartial v = e^y cdot 2v + x e^y cdot (-2v) = 2v e^y - 2v x e^y = 2v e^y (1 - x)
Para :

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais, se quisermos expressar partial zpartial u = 2u e^y (1 + u^2 + v^2) em termos de partial zpartial v = 2v e^y (1 - u^2 - v^2) e , mas a forma acima já é válida. No entanto, se preferir, podemos substituir de volta:
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 2u e^y (1 + u^2 + v^2)
e
partial zpartial v = 2v e^y (1 - u^2 - v^2)

Exercícios relacionados