Encontre e .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, já que é função de e , que por sua vez são funções de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões que temos:
Nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Isso significa que:
E de forma similar para :

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Primeiro, e :
Depois, e :
E e :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na expressão da regra da cadeia.
Para :
Para :

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais, se quisermos expressar em termos de e , mas a forma acima já é válida. No entanto, se preferir, podemos substituir de volta:
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

Encontre a curvatura da curva no ponto (1, 1).
Usando a regra da cadeia, calcule .
(b)
Um disco de raio está rodando no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante . Uma partícula inicia no centro do disco e se move em direção às bordas em uma direcção radial fixa de forma que sua posição no instante , é dada por , onde
(a) Mostre que a velocidade da partícula é
onde é a velocidade do ponto na borda do disco.
(b) Mostre que a aceleração da partícula é
onde é a aceleraçăo na borda do disco. O termo extra é chamado aceleração de Coriolis; é o resultado da interação entre a rotaçăo do disco e o movimento da particula. Podemos obter uma demonstração física dessa aceleração andando em direção à borda de um carrossel.
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação
Calcule os seguintes limites
(d)