Um disco de raio está rodando no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante omega. Uma partícula inicia no centro do disco e se move em direção às bordas em uma direcção radial fixa de forma que sua posição no instante t, t ≥ 0, é dada por r(t) = t R(t), onde
R(t) = cos(ω t) i + sen(ω t) j
(a) Mostre que a velocidade v da partícula é
v = cos(ω t) i + sen(ω t) j + r v_d
onde v_d = R'(t) é a velocidade do ponto na borda do disco.
(b) Mostre que a aceleração a da partícula é
a = 2 v_d + t a_d
onde a_d = R'(t) é a aceleraçăo na borda do disco. O termo extra 2 v_d é chamado aceleração de Coriolis; é o resultado da interação entre a rotaçăo do disco e o movimento da particula. Podemos obter uma demonstração física dessa aceleração andando em direção à borda de um carrossel.
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação
r(t) = e^(-t) cos(ω t) i + e^(-t) sen(ω t) j

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um disco girando no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante omega. Uma partícula começa no centro do disco e se move em direção às bordas de forma que sua posição no tempo t é dada por , onde:
Conteúdo da matéria: Cinemática de partícula em movimento circular e análise de movimentos relativos em um sistema rotativo, incluindo conceitos como velocidade e aceleração de Coriolis.
O que vamos precisar para resolver:
  • Derivadas de funções vetoriais.
  • Relações entre movimentos em sistemas inerciais e não inerciais.
  • Fórmulas para velocidade e aceleração em movimentos circulares.

Passo 2

Parte (a): Vamos encontrar a velocidade v da partícula. Começamos derivando a posição r(t) em relação ao tempo t.
Aplicando a regra do produto:
Sabemos que , que é a velocidade do ponto na borda do disco.
Então:

Passo 3

Parte (b): Agora, vamos encontrar a aceleração a da partícula. Derivamos a velocidade v(t) em relação ao tempo t.
Derivando termo a termo:
Note que , a aceleração na borda do disco. Então, considerando o termo adicional devido ao movimento da partícula, temos:
O termo é conhecido como aceleração de Coriolis, que surge devido à interação entre a rotação do disco e o movimento radial da partícula.

Passo 4

Parte ©: Vamos determinar a aceleração de Coriolis para a partícula cuja posição é dada por:
Primeiro, identificamos que nesse caso:
A velocidade radial é a derivada de :
Simplificando:
A aceleração de Coriolis é dada por:

Resposta

A aceleração de Coriolis da partícula é:

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