Um disco de raio está rodando no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante
. Uma partícula inicia no centro do disco e se move em direção às bordas em uma direcção radial fixa de forma que sua posição no instante
, é dada por
, onde
(a) Mostre que a velocidade
da partícula é
onde
é a velocidade do ponto na borda do disco.
(b) Mostre que a aceleração
da partícula é
onde
é a aceleraçăo na borda do disco. O termo extra
é chamado aceleração de Coriolis; é o resultado da interação entre a rotaçăo do disco e o movimento da particula. Podemos obter uma demonstração física dessa aceleração andando em direção à borda de um carrossel.
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação
(b) Mostre que a aceleração
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um disco girando no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante
. Uma partícula começa no centro do disco e se move em direção às bordas de forma que sua posição no tempo
é dada por
, onde:
Conteúdo da matéria: Cinemática de partícula em movimento circular e análise de movimentos relativos em um sistema rotativo, incluindo conceitos como velocidade e aceleração de Coriolis.
O que vamos precisar para resolver:
- Derivadas de funções vetoriais.
- Relações entre movimentos em sistemas inerciais e não inerciais.
- Fórmulas para velocidade e aceleração em movimentos circulares.
Passo 2
Parte (a): Vamos encontrar a velocidade
da partícula. Começamos derivando a posição
em relação ao tempo
.
Aplicando a regra do produto:
Sabemos que
, que é a velocidade do ponto na borda do disco.
Então:
Passo 3
Parte (b): Agora, vamos encontrar a aceleração
da partícula. Derivamos a velocidade
em relação ao tempo
.
Derivando termo a termo:
Note que
, a aceleração na borda do disco. Então, considerando o termo adicional devido ao movimento da partícula, temos:
O termo
é conhecido como aceleração de Coriolis, que surge devido à interação entre a rotação do disco e o movimento radial da partícula.
Passo 4
Parte ©: Vamos determinar a aceleração de Coriolis para a partícula cuja posição é dada por:
Primeiro, identificamos que nesse caso:
A velocidade radial
é a derivada de
:
Simplificando:
A aceleração de Coriolis é dada por:
Resposta
A aceleração de Coriolis da partícula é:
Exercícios relacionados
Encontre
e
.
(a)
(a)
Encontre a curvatura da curva
no ponto (1, 1).
Calcule os seguintes limites
(d)
(d)
Uma partícula se move com função posição
. Determine a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração da partícula.