Uma partícula se move com função posição
. Determine a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração da partícula.
Passo 1
Beleza, temos uma partícula que se move de acordo com a função posição
. Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas: a velocidade da partícula, a velocidade escalar e a aceleração. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é simplesmente a derivada da função posição em relação ao tempo
. Ou seja:
Vamos derivar cada componente de
separadamente.
Passo 3
Derivando a componente
:
Isso vem da regra do produto, onde derivamos
e
separadamente.
Passo 4
Derivando a componente
:
Isso é direto, já que a derivada de
em relação a
é 1.
Passo 5
Derivando a componente
:
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar a exponencial.
Passo 6
Agora, juntando todas as derivadas, temos a velocidade:
Passo 7
Em seguida, vamos encontrar a velocidade escalar, que é simplesmente a magnitude da velocidade. Usamos a fórmula:
Vamos expandir isso:
Passo 8
Por último, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente de
:
Passo 9
Derivando a componente
da velocidade:
Passo 10
Derivando a componente
da velocidade:
Passo 11
Derivando a componente
da velocidade:
Passo 12
Juntando todas as derivadas, a aceleração é:
Resposta
-
Velocidade da partícula:
-
Velocidade escalar:
-
Aceleração da partícula:
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites
(d)
(d)
Um disco de raio está rodando no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante
. Uma partícula inicia no centro do disco e se move em direção às bordas em uma direcção radial fixa de forma que sua posição no instante
, é dada por
, onde
(a) Mostre que a velocidade
da partícula é
onde
é a velocidade do ponto na borda do disco.
(b) Mostre que a aceleração da partícula é
(b) Mostre que a aceleração
onde
é a aceleraçăo na borda do disco. O termo extra
é chamado aceleração de Coriolis; é o resultado da interação entre a rotaçăo do disco e o movimento da particula. Podemos obter uma demonstração física dessa aceleração andando em direção à borda de um carrossel.
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação
© Determine a aceleração de Coriolis de uma partícula que se move em um disco rodando segundo a equação
Considere a função
.
(a) Calcule .
(a) Calcule
Considere a função
.
(d) A função é contínua em
. Justifique a sua resposta.
(d) A função