Uma partícula se move com função posição r(t) = t ln(t) i + t j + e^(-t) k. Determine a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração da partícula.

Passo 1

Beleza, temos uma partícula que se move de acordo com a função posição . Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas: a velocidade da partícula, a velocidade escalar e a aceleração. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é simplesmente a derivada da função posição em relação ao tempo . Ou seja:
Vamos derivar cada componente de separadamente.

Passo 3

Derivando a componente :
Isso vem da regra do produto, onde derivamos e separadamente.

Passo 4

Derivando a componente :
Isso é direto, já que a derivada de em relação a é 1.

Passo 5

Derivando a componente :
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar a exponencial.

Passo 6

Agora, juntando todas as derivadas, temos a velocidade:

Passo 7

Em seguida, vamos encontrar a velocidade escalar, que é simplesmente a magnitude da velocidade. Usamos a fórmula:
Vamos expandir isso:

Passo 8

Por último, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente de :

Passo 9

Derivando a componente da velocidade:

Passo 10

Derivando a componente da velocidade:

Passo 11

Derivando a componente da velocidade:

Passo 12

Juntando todas as derivadas, a aceleração é:

Resposta

  • Velocidade da partícula:
  • Velocidade escalar:
  • Aceleração da partícula:

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