Uma partícula se move com função posição
. Determine a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração da partícula.
Passo 1
Beleza, temos uma partícula que se move de acordo com a função posição
. Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas: a velocidade da partícula, a velocidade escalar e a aceleração. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é simplesmente a derivada da função posição em relação ao tempo
. Ou seja:
Vamos derivar cada componente de
separadamente.
Passo 3
Derivando a componente
:
Isso vem da regra do produto, onde derivamos
e
separadamente.
Passo 4
Derivando a componente
:
Isso é direto, já que a derivada de
em relação a
é 1.
Passo 5
Derivando a componente
:
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar a exponencial.
Passo 6
Agora, juntando todas as derivadas, temos a velocidade:
Passo 7
Em seguida, vamos encontrar a velocidade escalar, que é simplesmente a magnitude da velocidade. Usamos a fórmula:
Vamos expandir isso:
Passo 8
Por último, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente de
:
Passo 9
Derivando a componente
da velocidade:
Passo 10
Derivando a componente
da velocidade:
Passo 11
Derivando a componente
da velocidade:
Passo 12
Juntando todas as derivadas, a aceleração é:
Resposta
-
Velocidade da partícula:
-
Velocidade escalar:
-
Aceleração da partícula: