Esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos, os pontos de descontinuidade e as assíntotas:
(b) .

Passo 1

Beleza! A gente vai desenhar o gráfico da função . Para isso, vamos precisar entender de cálculo básico, como derivadas para encontrar intervalos de crescimento e decrescimento, além de identificar pontos críticos, descontinuidades e assíntotas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para ver se conseguimos entender melhor seu comportamento. A função dada é:
Podemos reescrever isso como:
Isso nos ajuda a identificar possíveis pontos de descontinuidade e assíntotas.

Passo 3

Vamos procurar por pontos de descontinuidade. A função está definida para todos os valores de onde o denominador não é zero. Então, resolvemos:
Portanto, temos uma descontinuidade em .

Passo 4

Agora, vamos identificar as assíntotas. Como a função é uma razão de polinômios do mesmo grau (grau 1 no numerador e no denominador), a assíntota horizontal é o coeficiente líder dividido pelo coeficiente líder, ou seja:
í
Também temos uma assíntota vertical em , onde a função não está definida.

Passo 5

Vamos encontrar os pontos críticos, que são onde a derivada da função é zero ou não existe. Primeiro, calculamos a derivada de :
A derivada nunca é zero porque o numerador é sempre 4. Portanto, não há pontos críticos onde a derivada é zero. A derivada também existe para todo .

Passo 6

Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Olhando para a derivada:
Como o denominador é sempre positivo (exceto em , que não está no domínio), e o numerador é positivo, a derivada é sempre positiva. Isso significa que a função está sempre crescendo em seu domínio.

Passo 7

Para desenhar o gráfico, resumimos as informações:
  • Domínio: menos
  • Assíntotas:
    • Horizontal:
    • Vertical:
  • Crescimento: A função está sempre crescendo.
  • Pontos de descontinuidade:
  • Pontos críticos: Nenhum

Resposta

O gráfico da função possui uma assíntota horizontal em , uma assíntota vertical em , está sempre crescendo em todo o seu domínio, não possui pontos críticos e tem uma descontinuidade em .

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Calcule os seguintes limites:
© .
Encontre os polinômios de Taylor de ordem das seguintes funções em torno de .
(b) .
Calcule os seguintes limites:
(d) .
Encontre os polinômios de Taylor de ordem das seguintes funções em torno de .
(a) .