Esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos, os pontos de descontinuidade e as assíntotas:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza! A gente vai desenhar o gráfico da função
. Para isso, vamos precisar entender de cálculo básico, como derivadas para encontrar intervalos de crescimento e decrescimento, além de identificar pontos críticos, descontinuidades e assíntotas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para ver se conseguimos entender melhor seu comportamento. A função dada é:
Podemos reescrever isso como:
Isso nos ajuda a identificar possíveis pontos de descontinuidade e assíntotas.
Passo 3
Vamos procurar por pontos de descontinuidade. A função está definida para todos os valores de
onde o denominador não é zero. Então, resolvemos:
Portanto, temos uma descontinuidade em
.
Passo 4
Agora, vamos identificar as assíntotas. Como a função é uma razão de polinômios do mesmo grau (grau 1 no numerador e no denominador), a assíntota horizontal é o coeficiente líder dividido pelo coeficiente líder, ou seja:
Também temos uma assíntota vertical em
, onde a função não está definida.
Passo 5
Vamos encontrar os pontos críticos, que são onde a derivada da função é zero ou não existe. Primeiro, calculamos a derivada de
:
A derivada
nunca é zero porque o numerador é sempre 4. Portanto, não há pontos críticos onde a derivada é zero. A derivada também existe para todo
.
Passo 6
Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Olhando para a derivada:
Como o denominador é sempre positivo (exceto em
, que não está no domínio), e o numerador é positivo, a derivada é sempre positiva. Isso significa que a função está sempre crescendo em seu domínio.
Passo 7
Para desenhar o gráfico, resumimos as informações:
- Domínio:
menos - Assíntotas:
- Horizontal:
- Vertical:
- Horizontal:
- Crescimento: A função está sempre crescendo.
- Pontos de descontinuidade:
- Pontos críticos: Nenhum
Resposta
O gráfico da função
possui uma assíntota horizontal em
, uma assíntota vertical em
, está sempre crescendo em todo o seu domínio, não possui pontos críticos e tem uma descontinuidade em
.
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© .
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das seguintes funções em torno de
.
(b) .
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(d) .
(d)
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.
(a) .
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