Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para calcular:
. Isso está relacionado a limites em funções de várias variáveis, uma parte da matemática que estuda como funções se comportam quando seus inputs (nesse caso,
,
e
) se aproximam de certos valores. Vamos precisar usar propriedades de limites de funções de várias variáveis e entender como manipular expressões com trigonometria e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da função quando
se aproxima de
.
-
Numerador:
- Quando
, e . - Para
, se e , então . Sabemos que .
Então, o numerador tende a. - Quando
-
Denominador:
- Quando
e , e . - Assim, o denominador tende a
.
- Quando
Passo 3
Agora, juntando essas informações, a expressão do limite fica:
Aqui, vimos que o numerador tende a zero e o denominador tende a um valor constante diferente de zero, então o limite da fração toda é zero.
Resposta
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Calcule os seguintes limites envolvendo indeterminações:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o campo vetorial gradiente de f .
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.