Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para calcular: . Isso está relacionado a limites em funções de várias variáveis, uma parte da matemática que estuda como funções se comportam quando seus inputs (nesse caso, , e ) se aproximam de certos valores. Vamos precisar usar propriedades de limites de funções de várias variáveis e entender como manipular expressões com trigonometria e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da função quando se aproxima de .
  1. Numerador:
    • Quando , e .
    • Para , se e , então . Sabemos que .
    Então, o numerador tende a .
  2. Denominador:
    • Quando e , e .
    • Assim, o denominador tende a .

Passo 3

Agora, juntando essas informações, a expressão do limite fica:
Aqui, vimos que o numerador tende a zero e o denominador tende a um valor constante diferente de zero, então o limite da fração toda é zero.

Resposta

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Calcule os seguintes limites envolvendo indeterminações:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o campo vetorial gradiente de f .
a.
b.
c.
d.