Calcule os seguintes limites, se existirem. Caso contrário, verifique a não existência.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o limite ao longo do eixo
. Substituindo
na expressão temos:
Quando
tende a
, o limite é
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite ao longo da reta
. Substituindo
na expressão:
Aqui, o limite também é
.
Passo 4
Vamos generalizar para um caminho qualquer
, onde
é uma constante. Substituindo
na expressão:
Quando
tende a
, o limite é
, independentemente do valor de
.
Passo 5
Para garantir que o limite seja realmente
em todos os caminhos, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na expressão:
Como
tende a
, o limite de toda a expressão é
, independentemente do valor de
.
Resposta
O limite existe e é igual a
.