Calcule os seguintes limites, se existirem. Caso contrário, verifique a não existência.
lim (x, y) (0,0) x^3-x y^2x^2+y^2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o limite ao longo do eixo x^3 - x (0)^2x^2 + (0)^2 = x^3x^2 = x . Substituindo na expressão temos:
Quando tende a , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite ao longo da reta x^3 - x (x)^2x^2 + x^2 = x^3 - x^32x^2 = 02x^2 = 0 . Substituindo na expressão:
Aqui, o limite também é .

Passo 4

Vamos generalizar para um caminho qualquer x^3 - x (k x)^2x^2 + (k x)^2 = x^3 - k^2x^3x^2(1 + k^2) = x(1 - k^2)1 + k^2 , onde é uma constante. Substituindo na expressão:
Quando tende a , o limite é , independentemente do valor de .

Passo 5

Para garantir que o limite seja realmente (r cos theta)^3 - (r cos theta)(r sin theta)^2(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^3 cos^3 theta - r^3 cos theta sin^2 thetar^2 = r (cos^3 theta - cos theta sin^2 theta) em todos os caminhos, vamos usar coordenadas polares, onde e . Substituindo na expressão:
Como tende a , o limite de toda a expressão é , independentemente do valor de .

Resposta

O limite existe e é igual a .

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