A curva
, dada por
, tem um ponto em comum com a superfície
. Determine o ângulo entre
e o vetor normal à superfície neste ponto.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o ângulo entre a curva
e o vetor normal à superfície no ponto em comum. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial e geometria analítica, e vamos precisar de derivadas para encontrar vetores tangentes e normais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto onde a curva
intersecta a superfície. A curva é dada por
,
,
. A superfície é definida por
. Para encontrar o ponto comum, substituímos
,
,
da curva na equação da superfície:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Portanto, o ponto de interseção é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva
no ponto
. A derivada da posição em relação a
nos dá o vetor tangente:
Em
, temos:
Então, o vetor tangente é
.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto
. A superfície é dada por
, que pode ser escrita como
. O vetor normal é o gradiente de
:
Calculando as derivadas:
No ponto
:
Então, o vetor normal é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o ângulo entre o vetor tangente
e o vetor normal
. O cosseno do ângulo
é dado pelo produto escalar dividido pelo produto das normas dos vetores:
Como
, então
.
Resposta
O ângulo entre a curva
e o vetor normal à superfície no ponto comum é
.
Exercícios relacionados
Mostre que as superfícies dadas pelas equações
são ortogonais em todo ponto de interseção e, além disso, faça um esboço das superfícies e da curva de interseção.
Encontre a matriz Jacobiana da função
, definida por
, no ponto
.
Calcule os seguintes limites, se existirem. Caso contrário, verifique a não existência.
O potencial elétrico no ponto
é dado por
, onde
é dado em volts e
, y e
em cm. Determine a taxa de variação instantânea de
em relação à distância em
em relação ao eixo dos
.