A curva , dada por , tem um ponto em comum com a superfície . Determine o ângulo entre e o vetor normal à superfície neste ponto.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o ângulo entre a curva e o vetor normal à superfície no ponto em comum. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial e geometria analítica, e vamos precisar de derivadas para encontrar vetores tangentes e normais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto onde a curva intersecta a superfície. A curva é dada por , , . A superfície é definida por . Para encontrar o ponto comum, substituímos , , da curva na equação da superfície:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva no ponto . A derivada da posição em relação a nos dá o vetor tangente:
Em , temos:
Então, o vetor tangente é .

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto . A superfície é dada por , que pode ser escrita como . O vetor normal é o gradiente de :
Calculando as derivadas:
No ponto :
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo entre o vetor tangente e o vetor normal . O cosseno do ângulo é dado pelo produto escalar dividido pelo produto das normas dos vetores:
Como , então .

Resposta

O ângulo entre a curva e o vetor normal à superfície no ponto comum é .

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