O potencial elétrico no ponto é dado por , onde é dado em volts e , y e em cm. Determine a taxa de variação instantânea de em relação à distância em em relação ao eixo dos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresentou uma função de potencial elétrico , onde está em volts e , , e estão em centímetros. Nosso objetivo é determinar a taxa de variação instantânea de em relação à distância no ponto em relação ao eixo . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada direcional da função na direção do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de variação instantânea em relação ao eixo . Isso se refere a como o potencial elétrico muda à medida que nos movemos na direção do eixo a partir do ponto dado. Para isso, usamos o conceito de derivada direcional.

Passo 3

A derivada direcional de uma função na direção de um vetor é dada pelo produto escalar do gradiente de ( ) com o vetor unitário na direção de . Matematicamente:

Passo 4

Vamos encontrar o gradiente de , ou seja, . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de :

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
Primeiro, definamos . Então, .
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Então,

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, calculamos nesse ponto:
Substituindo os valores:

Passo 7

O eixo é representado pelo vetor unitário . A derivada direcional na direção do eixo é o produto escalar de com :

Resposta

A taxa de variação instantânea de no ponto em relação ao eixo é volts por centímetro.

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