O potencial elétrico no ponto
é dado por
, onde
é dado em volts e
, y e
em cm. Determine a taxa de variação instantânea de
em relação à distância em
em relação ao eixo dos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresentou uma função de potencial elétrico
, onde
está em volts e
,
, e
estão em centímetros. Nosso objetivo é determinar a taxa de variação instantânea de
em relação à distância no ponto
em relação ao eixo
. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada direcional da função
na direção do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de variação instantânea em relação ao eixo
. Isso se refere a como o potencial elétrico
muda à medida que nos movemos na direção do eixo
a partir do ponto dado. Para isso, usamos o conceito de derivada direcional.
Passo 3
A derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é dada pelo produto escalar do gradiente de
(
) com o vetor unitário na direção de
. Matematicamente:
Passo 4
Vamos encontrar o gradiente de
, ou seja,
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Primeiro, definamos
. Então,
.
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Primeiro, calculamos
nesse ponto:
Substituindo os valores:
Passo 7
O eixo
é representado pelo vetor unitário
. A derivada direcional na direção do eixo
é o produto escalar de
com
:
Resposta
A taxa de variação instantânea de
no ponto
em relação ao eixo
é
volts por centímetro.
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, dada por
, tem um ponto em comum com a superfície
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